들어가며 제1장 태초에 기하학이 있었다! 1-1 기하란? 1-2 유클리드 원론』에 나오는 '점, 선, 면'이란? 1-3 차원을 한 단계 높여서 쉽게 답 찾기 1-4 원은 왜 360°도일까? 라디안이란? 1-5 '평행선이 만나는 것'의 역발상 1-6 '내각의 합은 180°'의 증명을 쉽고 간단하게 1-7 연필 회전법으로 각도 측정하기 COLUMN 기하학에 왕도는 있다? 유클리드에게 반론 제기! 제2장 기하의 기본은 '변형' 2-1 직사각형의 넓이가 가로×세로인 이유 2-2 넓이는 그대로 두고 간단한 도형으로 바꿔 생각하기 2-3 형태를 바꿔 간단하게 만들기 2-4 삼각형 넓이로부터 '수열의 공식' 도출하기 2-5 학구산도 넓이로 생각하면 간단! 2-6 소금물의 농도도 면적산으로 구하기 2-7 벌집과 디리클레 도형 2-8 강한 삼각형, 약한 사각형 COLUMN 1796년 3월 30일, 가우스의 진로를 결정한 사건 제3장 원과 π의 신비에 도전 3-1 곡선으로 둘러싸인 토지의 넓이 구하기 3-2 정사각형으로부터 원의 넓이를 구한 고대 이집트 사람들 3-3 『린드 파피루스』의 원의 넓이 문제에 도전 3-4 아르키메데스의 실진법을 통한 원주율 접근 3-5 직감으로 파악하는 '원의 넓이' 3-6 무게로부터 원주율 구하기 3-7 이쑤시개로 원주율을 구하는 뷔퐁의 바늘 3-8 원주율이 3.1보다 크다는 사실을 증명하려면? 3-9 내주와 외주에는 어느 정도 차이가 있을까? 3-10 대발견을 이끈 케플러의 실진법 COLUMN 편지에 일부터 틀린 정리를 적었던 아르키메데스 제4장 피타고라스의 정리와 삼각비의 지혜 4-1 피타고라스의 정리는 기하학의 보배 4-2 기하의 세계에서 탄생한 '무리수' 4-3 '밧줄 측량사'의 정리? 4-4 피타고라스의 정리 증명하기 4-5 sin, cos, tan의 위치 관계 기억하기 4-6 알아두면 편리한 사인 정리·코사인 정리 4-7 곱자로 루트를 계산하는 지혜 COLUMN 피타고라스 '학파'의 정리? 제5장 쉽게 이해되는 부피의 세계 5-1 삼각뿔은 삼각기둥의 ! 5-2 카발리에리의 원리 5-3 구의 부피도 카발리에리의 원리로 구하기 5-4 구의 겉넓이를 산출하는 방법 5-5 지구의 무게 측정해 보기 5-6 후지산의 부피를 여러 개의 원뿔대로 구하기 COLUMN 세키 다카카즈의 수학 업적 제6장 합동·닮음의 심오한 세계 6-1 합동과 닮음, 의외의 오해? 6-2 삼각형의 합동 조건, 닮음 조건이란? 6-3 피라미드의 높이를 닮음비로 측정 6-4 '공간 도형의 비'로 피라미드의 높이 구하기 6-5 슐리만도 놀란 휴지로 나무 높이를 재는 방법 6-6 모든 포물선은 닮음? 6-7 선대칭, 점대칭의 시선에서 사물 보기 6-8 시의 상징과 가문 문양의 대칭성 퀴즈 COLUMN 최초의 수학자 탈레스의 지혜 제7장 적분으로 곡선 도형의 넓이 구하기 7-1 매스매티카 섬의 넓이를 추산하는 방법 7-2 매스매티카 섬의 진짜 넓이에 조금씩 가까워지기 7-3 곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이 7-4 인티그럴로 '구간'을 적분하기 7-5 을 적분하면? 7-6 얇게 썬 조각으로부터 원래의 부피 구하기 7-7 회전체의 부피를 적분으로 구해 보기 7-8 원뿔의 부피가 '정확히 원기둥의 '이 되는 증명! COLUMN 뉴턴은 '마지막 수메르인'? 제8장 신기한 '기하 우주' 8-1 토폴로지는 고무판 기하학 8-2 데포르메 지도는 '본질에 접근하는' 토폴로지 적 발상 8-3 오일러의 '한붓그리기'로 난제 풀기 8-4 '비유클리드'라는 이름의 새로운 기하학 8-5 필즈상과 100만 달러 상금을 거절한 수학자 8-6 프랙털은 '자기 닮음'의 기하학 8-7 프랙털 차원을 계산하기 8-8 아마존, 나일강의 프랙털 차원을 계산하는 방법 COLUMN 오일러가 공주에게 보낸 편지 - 기하학에 왕도가 있다! 주요 참고 도서

수학의 역사를 거슬러 올라가 보면 그 시작은 수를 세고 도형을 분석하기 위해서였다고 합니다. 그래서인지 수학이 비약적으로 발전한 그리스 시대에는 ‘수학=기하학(철학)’이었습니다. 위대한 수학자 가우스는 ‘정수론은 수학의 여왕’이라고 했습니다. 그렇다면 ‘기하학은 수학의 왕’이라고 할 수 있겠습니다. 기하를 통해 본질을 쉽게 이해할 수 있기 때문입니다. 알렉산드로스 대왕 사망 후 그리스·페르시아·인도에 이르는 대제국은 후계자들에 의해 분할됐다. 그중 현재의 이집트 부근을 지배한 인물이 프톨레마이오스 1세다. 프톨레마이오스는 학술 문화의 부흥에 힘을 쏟았고 다수의 학자를 초빙했다. 기원전 300년경의 유클리드도 그중 한 명이었다. 삼각형은 특수한 도형으로 세 변의 길이가 정해지면 모양이 무너지지 않는다. 사각형은 네 변의 길이가 정해져도 옆에서 힘을 줘서 밀면 금세 와르르 무너져 평행 사변형이 되어 버린다. 이 삼각형의 견고한 특성을 건축에 이용한 것이 ‘트러스’와 ‘브레이스’다. 예로부터 수많은 수학자가 원주율 산출에 도전했다. 아르키메데스의 실진법과 같이 복잡한 계산(멱급수 전개 등)을 이용하는 것도 있다. 한편 그중에는 ‘무게로 원주율을 구하는’ 참신한 방법도 있다. 실제로 골판지 등의 두꺼운 종이를 준비해 자르고 무게를 측정하기 때문에 누구나 손쉽게 π의 값을 구할 수 있다. 골판지는 문구점에서 1,000원 정도면 살 수 있다. 골판지에 다음과 같은 두 개의 그림을 그리고 잘라내 보자. 화성 궤도를 ‘원 궤도가 아닌 타원 궤도’라고 주장한 것은 독일의 천문학자 케플러(1571~1630년)였다. 케플러도 처음에는 코페르니쿠스와 마찬가지로 ‘화성은 원 궤도’라고 생각했지만, 그의 스승 튀코 브라헤(1546~1601년)가 남긴 방대한 화성 관측 데이터를 보고 타원 궤도 쪽으로 견해가 바뀌었다고 알려진다. 같은 도형을 회전 이동시킨 것은 ‘합동’이며 그중에서도 ‘원점을 중심으로 180° 회전시킨 것’을 점대칭 이동이라고 한다. 따라서 점대칭 이동한 도형은 원래의 도형과 합동이라고 할 수 있다. 한편 선대칭 이동이라 불리는 것도 있다. 이는 수직선, 수평선 등 ‘선’을 축으로 도형을 ‘접는 것’이다. 나아가 선대칭 이동으로 자기 자신을 포갤 수 있는 도형을 선대칭 도형이라 하며 대칭축을 기준으로 접으면 완벽히 포개진다. 선대칭으로 자기 자신이 겹칠 때 그 도형을 선대칭이라고 한다. 우리 인류는 지구를 밖에서 볼 수 없는 시대에도 지구가 둥글다는 것을 알고 있었다. 망망대해로 사라져 가는 배는 하단의 바닥 부분부터 보이지 않게 되고 마지막으로 가장 높은 돛대가 사라진다. 반대로 배가 수평선으로부터 보이기 시작할 때는 처음에 돛대가 보이고 마지막에 하단이 보인다. 수평선을 바라보고 있으면 수평선이 둥글다는 것을 알 수 있는데 지금은 우주에서 관찰하고 확인할 수 있게 되었다.