통합형 공부를 준비하기 위한 현명한 선택 “수학의 역사를 따라가다 보면 어느새 수학이 쉬워진다!” 상하이자이퉁대학과 중국의 지성 장샤오위안이 직접 기획편집한 똑똑한 수학책 현재 우리사회에서 뜨거운 감자와 같은 주요 키워드는 ‘교육과 복지’다. 교육에서는 ‘영어와 수학’인데, 영어는 사교육이 어느 정도 잡혀서 정부정책이 성공했는데, 문제는 수학이라는 것이 교육과학기술부의 자평이다. 학부모에게는 근심이자 초등학생부터 대학입시를 준비하는 고등학생에게는 수학으로 인한 감정이 분노의 수준인 것이 우리의 현실이다. 이러한 사회적 현실을 반영하여 정부에서는 ‘수학 대중화 사업단’을 출범시켜 수학에 좀 더 친근하게 다가갈 수 있도록 다각화된 노력을 기울이고 있다. 이처럼 정부 차원에서 수학에 대한 전 국민적인 공포감을 해소하고자 노력을 기울이는 동안, 여전히 우리는 왜 수학을 공부해야 하는가에 대한 물음에 정답을 찾지 못하고 있다. 이러한 시대 흐름에 맞게 수학이 일반인들에게는 교양으로, 통합형 논술을 준비하는 학생들에게는 도움이 될 수학교양서《수학을 잘하기 위해 먼저 읽어야 할 수학의 역사》가 출간되었다. 동양의 MIT로 불리는 상하이자이퉁대학에서 직접 기획하고 편찬한 이 책은 동서양의 수학사를 모두 아우르고 있다는 점에서 기존의 책들과는 차별되는 신선한 재미와 깊이를 전해준다. 수학과 과학 등을 넘나드는 저자의 탁월한 능력과 해박한 지식, 특히 300여 장이 넘는 역사적 가치를 담고 있는 사진과 도표들이 이 책이 가진 가치를 입증한다. 수학의 생성원리에서부터 그 속에 깃든 역사와 문화까지 수학의 모든 것이 탄탄하게 담겨 있는 이 책은 통합형 논술을 준비하는 수험생들은 물론, 수학을 가르치는 교사들, 수학을 교양으로 갖추고 싶은 지적호기심이 강한 일반인들, 자녀의 수학공부를 도와주고 싶은 열성적인 학부모들에게 수학의 개념과 원리를 입체적이고도 흥미롭게 이해할 수 있게 해주는 수학교양서로 자리잡을 것이다. 최초의 수학책 『린드 파피루스』에서부터 피타고라스의 정리, 피보나치의 수열, 로그의 발명, 푸앵카레의 추측, 페르마 대정리에 이르기까지 동서양 수학의 역사를 입체적으로 이해하는 재미있는 수학교양서 이 책은 동서양을 넘나들며 발전해온 각 문화권의 수학의 역사를 밀도 있게 다루고 있다. 각각의 역사 속에서 수학은 과학, 철학, 예술 등과 서로 조화를 이루며 좀 더 풍부한 내용으로 발전할 수 있었던 것이다. 유구한 역사와 풍부한 내용을 자랑하는 동양의 수학을 살펴보자면, 서양보다 무려 1천 년 앞선 중국의 원주율 계산법이나 방정식 계산법을 통해 동양 수학의 자긍심을 내세울 수 있는 기틀을 마련할 수 있었다. 또 우리가 흔히 알고 있는 아라비아 숫자는 인도 숫자에서 유래된 사실에서 비추어볼 때 서양보다 한껏 발전된 동양의 수학사를 이 책을 통해 만날 수 있게 될 것이다. 동서양의 문명을 하나로 묶어준 이슬람의 과학 문명은 동서양을 하나로 묶는 “영원한 황금노끈”과도 같은 역할을 했다. 이슬람의 과학 문화는 성숙한 다른 문명의 지식을 흡수하고 이를 소화함으로써 탄생한 것이기 때문이다. 따라서 다른 문화권에서 유입된 서적의 ‘번역’이야말로 아라비아 과학의 진정한 출발점이라고 할 수 있다. 약 150년에 걸친 번역 사업을 통해 아랍인은 ‘흡수’와 ‘창조’의 시기를 맞이했다. 그들은 그리스와 인도 수학을 받아들였고 이를 기반으로 아라비아 수학을 창조하여 수학 발전에 크게 기여했다. 실크로드를 통한 상업 무역이 활발해지고 동양의 수학이 아라비아를 거쳐 유럽에 전래되면서 암흑세계였던 중세 유럽을 구원하기에 이르렀다. 중세 유럽에서 수학을 장려한 직접적인 동기는 현실 생활의 필요성과 경제 발전을 추진하기 위해서였다. 상업과 무역이 활발해지면서 사람들은 계산 기술에 능숙해져야 했지만, 고대 로마의 기수법과 산술법은 이에 적합하지 않았다. 때마침 무역을 통해 들어온 인도-아라비아 숫자가 유럽에 전래되면서 유럽의 수학은 본격적으로 르네상스를 맞게 된다. 수학의 르네상스를 맞이한 유럽은 피보나치의 수열, 로그의 발명, 미적분의 탄생, 유클리드·비(非)유클리드기하학, 푸앵카레의 추측, 페르마 대정리에 이르기까지 수학의 굵직한 증명들을 하나씩 해결해나가면서 새로운 수학의 중심지로서 그 역할을 해내기에 이르렀다. 이와 같이 동서양을 아우르는 수학의 흥미진진한 역사는 읽는 이들에게 수학적 지식은 물론, ‘푸는 수학’을 넘어 ‘읽고 이해하는’ 수학의 즐거움을 선사할 것이다. 다채로운 역사적 사실을 보여주는 300여 장의 그림과 도표로 수학을 재미있게 읽는다 “이집트의 파피루스는 어떤 책입니까?” “유명한 대수학자의 모습은 어디에서 볼 수 있나요?” 이러한 학생들의 질문에 보여줄 사진이나 그림이 없는 무미건조해진 수학사 강의는 저자를 오랜 시간 깊은 고민에 빠지게 했다. 텍스트로만 공부하는 수학사는 아무런 의미가 없음을 누구보다 잘 알고 있었기 때문이다. 이때부터 저자는 학생들에게 좀 더 생생한 수학사의 장면들을 재현하여 가르치고자 다양한 사진들을 수집하기 시작했다. 견학차 방문한 박물관에서 몰래 사진을 찍다 경비원에게 걸린 저자의 일화는 저자가 수학과 수학교육에 가진 애정을 여실히 드러내보인다. 300여 장이 넘는 사진과 도표를 담고 있는 이 책이 가진 가치가 바로 여기에 있다. 수학은 단순히 숫자나 공식만으로 이루어진 것이 아니다. 서로 다른 분야와의 결합을 통해 세상을 이끄는 핵심적인 원동력으로 탄생한 것이다. 바로 이런 역사적 사실을 이 책에 담긴 300여 장의 사진과 도표를 통해 이해할 수 있을 것이다. 추천의 말 동양의 MIT로 불리는 상하이자이퉁대학에서 직접 기획하고 편찬한 이 책은 동서양의 수학사를 모두 아우르고 있다는 점에서 기존의 책들과는 차별되는 신선한 재미와 깊이를 전해준다. 이 책의 가장 큰 특징은 역사적 가치를 담고 있는 300여 장이 넘는 사진과 도표들이다. 300여 장의 역사적 사료들과 함께 하다보면, 여러분은 자기도 모르는 사이에 수학의 세계, 더 나아가 과학의 세계로 성큼 들어와 있는 것을 깨닫게 될 것이다. 이 책에서는 근대수학의 정점이자 현대수학과 현대과학의 기초를 제공한 미적분학에 관한 발명부터 시작하여 정교하게 다듬어간 천재학자들의 노력과 고뇌를 고스란히 느낄 수 있다. 특히 많은 양을 미적분학 이야기와 수학사의 대사건 ‘페르마의 대정리’에 대하여 자세하고 긴장감 있게 전개하고 있어 통합형 논술을 준비하는 수험생들에게 적극 추천하고 싶다. 또한 이 책은 예비교사를 위한 ‘수학사’의 교재로도 손색이 없을 뿐만 아니라 수학을 가르치는 교사들, 수학을 교양으로 갖추고 싶은 지적호기심이 강한 일반인들, 자녀의 수학공부를 도와주고 싶은 열성적인 학부모들 모두에게 추천하고 싶다. 수학의 홍보대사로 또 수학대중화사업의 연구위원이기 때문이다. 계영희(한국수학사학회 부회장, 고신대학교 교수)

감수의 글 제1장 수학의 기원 원시 시대에는 어떻게 수(數)를 표현했을까 <린드 파피루스>, 세계에서 가장 오래된 이집트의 수학책 점토판에 글을 새긴 바빌로니아인의 지혜 현대의 10진법에 가장 근접한 중국 고대의 산대 계산법 9개의 각기 다른 부호와 '0'을 표시한 인도 숫자 유럽에 전파된 아라비아 숫자 제2장 그리스 수학의 번영 토지를 측량하는 기술이 기하학의 발전을 가져오다 피타고라스, 수학의 초석을 세우다 연역적 추리의 위대한 업적, 유클리드의 <기하학원론> 금관의 수수께끼를 푼 아르키메데스 제3장 중국 수학의 고고한 품격 막대기 그림자로 태양의 높이를 계산한다 원을 분할하여 원의 넓이를 구한 유휘 서양보다 1천 년이나 앞선 원주율 계산법 관리 승진 시험에 출제된 '영부족' 계산법 음수는 어떻게 수학에 도입되었을까 미지수를 포함한 방정식을 세우는 방법, 천원술과 사원술 제4장 동서양을 하나로 묶는 아라비아 수학 '백년 번역 운동'으로 일궈낸 아랍의 과학 방정식의 증명을 전 세계로 퍼뜨린 알 콰리즈미 삼각법이 천문학에서 벗어나다 기하학과 대수학을 결합한 시인 수학자 오마르 하이얌 산술은 모든 문제 해결의 열쇠 제5장 유럽 수학의 르네상스 중세 암흑기를 벗어나다 대자연의 규칙이 담겨 있는 피보나치 수열 소수의 표기법을 창안한 스테빈 수학 계산의 진정한 혁명, 로그의 발명 문자를 사용하여 수를 표현하는 기호대수학의 발전 3차원 현실을 2차원 평면에 표현하기 제6장 해석 기하학에서 미적분까지 변화하는 양(변수)을 수학에 도입한 데카르트 수학의 새로운 문제 해결을 위해 미분법이 출현하다 뉴턴, 미적분의 기초를 완성하다 뉴턴과 라이프니츠 중 누가 미적분을 발명했는가 제7장 대수학의 찬란한 발전 3차 방정식 풀이 경쟁의 최종 승자는? 아벨, 5차 방정식의 대수적 해법은 없다 불행한 수학자 갈루아가 남긴 방정식의 군론 대수학의 혁명 해밀턴의 4원수(quarternions) 발명 제8장 비(非)유클리드 기하학 혁명 유클리드의 절대 권위에 대한 도전 제5공준 '증명' 을 위한 수학자들의 노력 놀라운 신세계를 창조한 볼리야이, 평행선 공리를 증명하다 쌍곡적 기하학을 탄생시킨 로바체프스키 수학의 절대 진리에 도전한 비유클리드 기하학 제9장 해석의 엄밀화 무한소, 사라지지 않는 '유령' 미적분을 확대 발전시킨 새로운 개척자들의 활약 수학적 해석학에 엄밀성을 기하다 산술과 기하학 사이의 간극을 없애다 제10장 수학의 새로운 시대 모든 수학 문제는 해답을 찾을 수 있다 모든 기하학을 통일된 형식으로 나타내다 수학의 기초를 다지는 계기, 러셀의 역설 수학의 3대 학파 출현과 논쟁의 확산 수학의 3대 학파의 환생을 깬 괴델의 불완전성의 원리 페르마 대정리의 증명, 수학의 새로운 영광이 찾아오다 에필로그

아라비아 왕국이 융성하기 이전에 인도 숫자는 이미 서양으로 전파되었다. 아라비아 숫자는 서기 976년 편찬된 에스파냐의 삽화 서적《비질라누스 법전》에 가장 먼저 등장한다. 이 숫자는 무어인들이 에스파 냐로 전래했다고 전해지며, 당시에는 사람들의 이목을 끌지 못했다. 1202년 이탈리아의 수학자 피보나치는 당시 수학서의 결정판인《산술서(Liber Abaci)》를 저술하였다. 이는 인도 숫자를 유럽에 최초로 소개한 책이었다. 이 책은 첫 장부터 다음과 같이 시작된다. “다음은 인도인의 9개의 숫자다. 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 또한 아라비아인들이‘영’이라고 부르는 부호 ‘0’이 있다. 이 부호들을 이용하면 어떤 수도 모두 표시해낼 수 있다.” 그 후, 그리고 수백 년 동안의 노력과 개정을 거쳐 16세기 중엽 드디어 현재 국제적으로 통용되는 숫자가 만들어졌다. 유럽인들의 인식 속에는 이 숫자가 아라비아 국가에서 전래된 것으로 여겨졌다. 그래서 이 숫자를 아라비아 숫자라고 불렀다. 하지만 아라비아인들은 이 숫자를 서양에 전달한 사신 역할을 했을 뿐이다. _유럽에 전파된 아라비아 숫자 중에서 다양한 지식 분야에서 수치의 계산은 매우 중요하다. 가령 천문학과 항해학, 상업 무역, 프로젝트, 군대에 이르기까지 계산의 속도와 정확성에 대한 요구는 점점 높아졌다. 수학 역사에서 다음 네 가지 중요한 발명이 있었기에 그런 욕구를 충족시킬 수 있었다. 그것은 인도-아라비아 숫자, 10진법 소수, 로그 그리고 계산기다. 그중에서 지금 살펴볼 내용은 세 번째, 즉 17세기 초반 존 네이피어(John Napier, 1550~1617)가 완성한 ‘로그(logarithm)’의 발명이다. 라플라스가 말했듯이 간단한 로그의 성질이 당시에는 ‘계산의 수고를 덜어주어 천문학자의 수명을 늘려주었다’는 사실을 어렵지 않게 짐작할 수 있다. 따라서 로그는 발명된 지 채 한 세기가 되지 않아 전 세계로 퍼져나갔으며 계산에 없어서는 안 될 중요한 도구가 되었다. 갈릴레이는 심지어 “나에게 공간과 시간 그리고 로그를 달라. 그러면 또 다른 우주를 만들어 보이겠다”라고 말하기도 했다. 가죽 통에 넣어 몸에 걸고 다니는 로그 계산용 자는 과거, 대학교 캠퍼스에서 공학을 배우는 학생의 트레이드 마크였다. 하지만 오늘날 포켓용 계산기가 보급되면서 이제는 박물관에서나 찾아볼 수 있게 되었다. 그렇지만 로그의 위력은 결코 약해지지 않았다. 로그함수와 지수함수의 관계는 해석학의 핵심 내용이기 때문이다. 따라서 지금도 로그는 수학 교육에서 매우 중요한 위치를 차지한다. _수학 계산의 진정한 혁명, 로그의 발명 중에서 ‘직각삼각형의 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다’를 기호로 표시하면 +=이다. 이는 인류가 발견한 최초의 수학정리로서 이미 고대 이집트와 바빌로니아에 관련 기록이 있다. 고대 그리스 수학자는 이를 ‘피타고라스의 정리’라고 불렀다. 기원전 2세기경 중국의《주비산경》에‘구삼고사현오(勾三股四弦五)’라는 기록이 있다. 만약 거듭제곱의 차수를 높여서 방정식 +=에서 +=에 이르기까지 정수해를 구할 수 있을까? 이 문제를 처음 제기하고 ‘해답’을 구한 사람은 프랑스의 아마추어 수학자 페르마다. 1637년경 페르마는 고대 그리스의 수학자 디오판토스가 쓴《산술》제2권 제8번 명제에서 +=에 관한 토론을 읽고 다음과 같이 썼다. “하나의 세제곱수를 두 개의 세제곱수로 나누거나, 네제곱수를 두 개의 네제곱수로 나누거나 또는 일반적으로 3차 이상의 거듭제곱수를 두개의 동일 차수로 분해하는 것은 불가능하다. 이에 관해 나는 경이로운 증명 방법을 발견했다고 확신한다. 다만 이곳은 여백이 좁아 증명은 생략한다.” 1665년 페르마가 세상을 떠나자 그의 아들이 5년에 걸쳐 아버지의 편지와 원고를 수집하여 1670년《디오판토스》라는 유고집을 출판했다. 페르마가 세상을 떠난 후에 모든 사람이 그의 유고를 샅샅이 찾았지만 이 증명 방법은 결국 발견하지 못했다. 페르마가 남긴 나머지 문제는 19세기 초까지 모두 해결되었지만 오직 이 문제만 미해결로 남았다. 그래서 ‘페르마의 마지막 정리’ 또는 ‘페르마 대정리’라는 이름을 갖게 되었다. _페르마 대정리의 증명, 수학의 새로운 영광이 찾아오다 중에서