수학이 얼마나 아름답고 즐거운지 깨닫고 맛 들여라! 천재 수학자 스트로가츠, 우리 안의 수학 본능을 다시 깨우다 《뉴욕 타임스》 독자들이 환호한 전대미문의 수학 칼럼! ★★★ 2012년 아마존 과학 분야 최고의 책 ★★★ 2014년 미국수학협회 오일러 도서상 수상 ★★★ 옥스퍼드 대학 수학과 김민형 교수 추천 ★★★ 스티븐 핑커, 대니얼 길버트 등 세계적 석학 격찬 마술 같은 숫자 세기, 추리소설보다 흥미진진하게 미지수를 추적하는 방정식, 논리와 직관이 꿈틀대는 기하학, 우아한 곡선을 그리는 미적분……. 누구에게나 처음 수를 배웠던 경험은 있지만 그 신기했던 즐거움을 기억하는 사람은 별로 없다. 그런 우리 기억 깊숙한 곳에 숨어 있는 수학의 매력을 끄집어내는 특별한 안내서가 여기 왔다. 하버드와 MIT 학생들이 영화배우보다 더 환호하는 괴짜 수학자 스티븐 스트로가츠. 《뉴욕 타임스》는 이 기발한 천재에게 수학 칼럼을 연재해달라고 요청한다. ‘어른의 눈높이’에서 수학이 얼마나 즐거운 일인지를 알게 하고, 우리 안에 숨겨져 있던 ‘수학 본능’을 일깨우기 위해서였다. 모든 연령대의 독자에게 환호 받은 이 칼럼은 《x의 즐거움》으로 엮었다. 이 책 단 한 권으로 유치원 과정의 산수에서부터 대학원 과정의 대수학까지 차근차근 단계를 밟아가며 독자들을 즐거운 수학의 세계로 안내한다. 어린이 프로그램 《세서미 스트리트》부터 셰익스피어의 《로미오와 줄리엣》, 얼룩말의 줄무늬와 크림치즈를 바른 베이글에 이르기까지, 일상생활과 대중문화, 생물학, 역사 등 세상 모든 것에 깃든 수학을 발견해보자. 이 책을 통해 우리가 몰랐던 매력적인 수학의 세계에 눈 뜨게 될 것이다. ■ 추천글 김민형(수학자) : 응용수학의 대가를 꼽으라면 당연히 떠오르는 이름이 스트로가츠다.『x의 즐거움』은 학교를 떠난 지 오래된 성인에게나 한창 공부를 하고 있는 학생에게나 배울만한 이야기들이 가득한 책이다. - (옥스퍼드 대학 수학과 교수, 『아빠의 수학 여행』, 『소수 공상』 저자) 스티븐 핑커(심리학자) : 루이스 캐럴, 조지 가모브, 마틴 가드너의 전통을 이어받아 수학의 아름다움과 즐거움을 흥미진진하게 탐구하는 여행. 『x의 즐거움』은 여러분을 즐겁게 하고, 놀라게 하고, 더 똑똑하게 만들어줄 것이다. (하버드 대학 심리학과 교수, 『마음은 어떻게 작동하는가』, 『언어 본능』 저자) 대니얼 길버트(심리학자) : 책장을 넘길 때마다 환상적인 수학 이야기가 펼쳐진다. 스트로가츠는 ‘수학’을 ‘즐거움’으로 바꿔놓는 마법의 함수를 발견했다. 여러분을 멍하게 만들었던 수학의 모든 것을 단순 명쾌하게 설명하는 것을 넘어, 수학을 경이롭고 즐겁고 놀라운 것으로 만든다.” (하버드 대학 심리학과 교수, 『행복에 걸려 비틀거리다』 저자) 조슈아 포어(저널리스트) : 이 재미있는 책은 수학이 얼마나 아름답고 황홀한 것이 될 수 있는지 일깨워줄 것이다. 스트로가츠는 우리 모두가 만나고 싶어 하는 수학 선생님이다. (『아인슈타인과 문워킹을』 저자) ■ 출판사 서평 ★★★ 2012년 아마존 과학 분야 최고의 책★★★ ★★★ 2014년 미국수학협회 오일러 도서상 수상 ★★★ ★★★ 옥스퍼드 대학 수학과 김민형 박사 추천작★★★ ★★★ 스티븐 핑커, 대니얼 길버트 등 세계적 석학 격찬 ★★★ “학창 시절엔 수학이 너무 어려워서 포기하고 말았지만, 지나고 보니 무언가를 놓친 기분이었어요.” 수학이라고 하면 으레 어려운 시험과 복잡한 공식을 떠올리곤 하지만, 요즘 사람들이 수학을 접하는 양상은 부쩍 달라지고 있다. 누구나 사무용 프로그램 엑셀에서 ‘수식’ 하나쯤은 다룰 수 있다. 유명 CEO이 돌아가며 한 번씩은 ‘빅데이터’니 ‘통계학’에 대해 이야기 한다. 수학은 더 밀접하게 삶에 스며들고, 수학을 더 흥미롭게 느낄 만한 문화산업도 늘어나고 있다. 이런 시대이고 보니, 인생을 살아가면서 수학에 갈증을 느끼는 사람들이 의외로 많다. 그 갈증은 인생을 논리적으로 해석할 수 있는 사고 도구이자 순수한 지적 사유에 빠져드는 장, 수학과 친해지는 법을 제대로 익히지 못했다는 데서 오는 듯하다. 바로 이런 사람들을 위해, 이 시대 최고의 학자가 《뉴욕 타임스》에 수학 이야기를 풀었다. 유독 수학을 겁내는 자신의 친구에게 “1+1=2부터 시작해 처음부터 차근차근 가르쳐야 할 것 같다”고 농담을 하던 그는 바로 스티븐 스트로가츠. 현 코넬 대학 응용수학과 교수이자, 수학계의 칼 세이건으로 불리는 그가 유치원 산수부터 대학원 수학까지를 일반인들에게 소개하는 특별한 일에 도전했다. 《수학의 기본 이론》이라는 제목으로 15주간 온라인 《뉴욕 타임스》에 수학 칼럼이 연재되었다. 이 특이한 칼럼에 모든 연령대의 독자가 “일단 무지하게 재미있다”며 열광했고, 메일과 댓글로 온갖 질문과 감상이 폭주했다. 그리고 이를 바탕으로 출간된 책이 바로 《x의 즐거움》이다. 이 책은 2012년 아마존 과학 분야 최고의 책에 선정되며, 2014년에는 미국수학협회에서 수학 대중화에 크게 기여한 책에 수여하는 오일러 도서상을 수상했다. 스티븐 핑커, 대니얼 길버트 등의 석학들의 격찬은 물론, 한국어판에서는 옥스퍼드 대학 김민형 박사가 애정 어린 추천사를 보내왔다. 스트로가츠의 저서 중에서 《x의 즐거움》은 가장 대중적인 책이자, 가장 재미있는 책이다. 한창 공부를 하는 학생들에게도 흥미롭겠지만, 이 책은 이미 내용을 다 아는 수학자들도 ‘이렇게 수학을 가르칠 수 있다니 놀랍다’라는 찬사를 보낸다. 다른 분야의 학자들도 그에 대해서 기꺼이 찬사를 보낸다. MIT에서 가르치던 시절 스트로가츠와 동료로 지내며 영감을 나누던 옥스퍼드대 김민형 박사는 《x의 즐거움》한국어판 추천사에서 스트로가츠를 “응용수학의 가치를 깨닫게 해준 특별한 연구자”라고 격찬했다. “생선, 생선, 생선, 생선, 생선, 생선!”과 “생선 6!”의 차이? 돌멩이들의 덧셈과 정사각형의 춤, 사랑에 빠진 방정식 가장 즐거웠던 수학으로 돌아가면 ‘수학 본능’이 깨어난다 여전히 수학은 어렵다. 두렵다. 아이들이 수학 문제라도 들고 오면 외면하기 바쁘다. 생각해보면, 나에게도 수학이 재미있었던 시절이 있었나 싶다. 그런데 단언컨대 누구에게나 그런 시절은 있었다. 《x의 즐거움》은 우리가 분명 느꼈으나 잊어버리고 있었던 그 수학의 즐거움을 다시 일깨운다. “아빠, 내 나이와 언니 나이 사이에는 항상 어떤 수가 있어요. 지금 나는 여섯 살, 언니는 여덟 살이니, 그 사이에는 일곱 살이 있지요. 그런데 나중에 우리가 나이가 더 들어 내가 스무 살이 되면 언니는 스물두 살이 되는데, 그 사이에도 어떤 수가 있어요!” 어린이들에게 수학은 이런 놀라움으로 다가온다. 스트로가츠는 일단 우리가 익숙하게 알고 있는 기초적인 수학 개념을 신선하게 해석해 우리를 수학을 처음 배우던 때로 돌아가게 한다. 그리고 그 여행에 텔레비전 프로그램 《세서미 스트리트》, 일본 소설 《박사가 사랑한 수식》, 셰익스피어의 고전 《로미오와 줄리엣》처럼 우리가 잘 아는 문화들을 거리낌 없이 끌어온다. 생애 초기에 배우기 시작하는 산수에는 어떤 마술적인 힘이 깃들어 있다. “생선, 생선, 생선, 생선, 생선, 생선!” 여섯 명의 손님에게 생선 요리를 주문 받은 《세서미 스트리트》의 험프리가 외친다. 그러나 “생선 6!”이라고 말하는 것이 훨씬 쉽다. 6이라는 숫자를 입에 담는 순간 우리는 새로운 개념의 심오한 세계로 들어간다. 현대인들이 아무 생각 없이 쓰는 아라비아 숫자와 0의 역할은 세계에 어떤 혁명을 불러왔을까? 어떤 것을 논리적으로 증명하려면 반드시 기하학을 참고해야 한다는 것을 아는가? 뉴턴의 《프린키피아》도, 스피노자의 《윤리학》도, 모두 기하학의 증명을 모방하고 있다. 언제나 우리를 함정에 빠뜨리던 문장제가 사실은 우리의 해묵은 발상을 전환하기 위한 최고의 도구라면? 아르키메데스가 원주율을 구하기 위해서 그저 원을 자르고 자르고 또 잘랐다는 사실을 아는지? 사랑을 표현하는 미분방정식으로 로미오와 줄리엣의 사랑을 표현한다면 어떤 수식이 나올까? 자신과 1로만 나누어지는 소수가 품고 있는 쓸쓸함과 신비로움까지 느끼고 나면, 이성과 감성 모두를 만족시키는 수학의 매력에 새삼 흠뻑 빠질 것이다. “수학이 사는 데 무슨 필요가 있지?” 이런 친절하고 재미있는 선생님을 진작 만났더라면… 우리 삶 속에 숨어있던 수학을 낱낱이 끄집어내다 수학을 싫어하는 사람들이 대표적으로 하는 말이 하나 있다. “이런 공식들이 사는 데 무슨 필요가 있나?” 수학이 일상생활과 어떤 관계가 있는지는 설명하지 않고 무조건 공식을 외우거나 문제 풀이만 계속하는 수학 수업에서 흥미를 느끼지 못한 사람들이 흔히 하는 말이다. 스트로가츠는 고등 수학을 설명하는 단계에 넘어가서는 수학과 우리 삶을 아주 밀접하게 이어주기 시작한다. 만약 미적분을 처음 배울 때 “미분은 어떤 것이 얼마나 빠른 속도로 변하는지 알려주고, 적분은 어떤 것이 얼마나 많이 축적되는지 알려준다” 같은 설명 한 마디만 들을 수 있었다면 미적분이 얼마나 친절하게 다가왔을까? 이차방정식이 자식들에게 부모의 유산을 얼마만큼 분배할지를 정하는 과정에서 생겨났다는 것을 알았다면 미지수 x를 추적하기 위해 이리저리 고민하는 그 과정을 꼭 필요하다 여기며 즐겼을지도 모른다. 스트로가츠는 이렇게 아리송했던 수학의 자리를 찾아줌으로써 어려운 고등 수학에 대한 거부감을 없애버리고, 우리가 평소 아무렇지도 않게 하는 행동이나 생활 속에서 자주 쓰이는 기술 속에 깃든 수학을 불러낸다. 춤추는 방법에도 벡터라는 수학 정보가 들어있다는 것, 위상수학을 이용하면 베이글에 크림치즈를 더 많이 바를 수 있다는 것, 독보적인 검색 서비스 구글이 ‘인기투표’ 방식으로 사이트를 찾아준다는 것 등 수학의 활동무대가 무궁무진함을 알려준 후, 아직 인류의 손길이 닿지 않은 ‘무한’의 영역으로까지 독자들을 안내한다. 책속으로 추가 신체 검사장에서 군 정신과 의사는 파인만에게 검사를 위해 두 손을 내밀라고 했다. 파인만은 한 손은 손바닥을 위로, 다른 손은 손바닥을 아래로 한 채 내밀었다. 정신과 의사는 “아니, 그렇게 말고 반대로.”라고 말했다. 그러자 파인만은 두 손을 ‘동시에’ 뒤집었다. 여전히 한 손은 손바닥이 위로 향했고, 다른 손은 아래로 향했다. 파인만은 심리 게임을 시도한 게 아니었다. 그저 군론의 작은 유머를 써먹었을 뿐이다. -261쪽 한 바퀴를 돈 뒤에 크레용이 그린 선은 출발점의 ‘반대편’에 가 있었다. 이것은 첫 번째로 놀라운 사실인데, 뫼비우스의 띠 위에서는 출발점으로 돌아오려면 ‘두 바퀴’를 돌아야 한다. 그런데 갑자기 한 남자 아이가 공황 상태에 빠졌다. 크레용이 출발점으로 돌아오지 않았다는 사실을 안 순간, 그 아이는 자신이 뭔가 잘못했다고 생각했다. 원래 그렇게 되는 게 정상이고, 그 아이가 제대로 했으며, 한 바퀴 더 돌기만 하면 된다고 이야기해도, 아무 소용이 없었다. 이미 때가 늦었다. 아이는 바닥에 주저앉아 울기 시작했고, 도저히 달랠 수가 없었다. -267쪽

추천사_ 스티븐 스트로가츠의 수학세계 _ 김민형(옥스퍼드 대학 수학과 교수) 머리말_ 유치원 산수부터 수학 지식의 변경까지 제1부 이걸 아는 순간 인생이 달라진다 : 수 01 생선에서 무한까지 | “생선, 생선, 생선, 생선, 생선, 생선!” 과 “생선 6!”의 차이 02 돌멩이 집단 | 만약 숫자가 돌멩이라면 03 내 적의 적 | 음수와 양수의 불편한 진실 04 교환법칙 | 곱셈 속에 숨겨진 인생의 실마리 05 나눗셈에 대한 불만 | 처음 만나는 수학의 벽을 넘으려면 06 자리가 값을 결정하다 | 0과 자리값이 불러온 혁명 제2부 원인과 결과, 투여와 반응, 세계는 어떻게 이루어져 있나 : 관계 07 x의 즐거움 | 수학이라는 언어와의 만남 08 근을 찾아서 | 복소수를 찾는 여정 09 넘쳐흐르는 욕조의 비밀 | 문장제의 함정 뛰어넘기 10 근의 공식 | 정사각형으로 이해하는 근의 공식 11 함수, 수학자의 필수 도구 | 무엇이든 변환하는 수학 연장통 제3부 눈을 즐겁게 하는 새로운 발견 : 형태 12 정사각형의 춤 | 피타고라스의 정리가 그리도 아름다운 이유 13 기하학의 증명 | 뉴턴과 스피노자가 따라 한 진리 증명법 14 원뿔곡선 가족 | 원, 타원, 포물선이 들려주는 이야기 15 사인파의 비밀 | 세상 모든 것 속에 있는 사인파 16 극한까지 나아가다 | 아르키메데스가 상상한 무한 속의 원주율 제4부 수학이 가진 경이로운 힘 : 변화 17 변화를 다루는 미적분학 | 가장 편한 길로 가려면 18 얇게 썰어서 합하는 방법 | 합리적인 예측을 돕는 적분의 힘 19 e에 관한 모든 것 | 무리수 e에게 연애 상담 요청 20 사랑의 미분방정식 | 밀고 당기는 연인들의 카오스 역학 21 빛의 본질 | 스마트한 움직임을 위한 벡터미적분학 제5부 어지러운 삶에 영감을 주세요 : 데이터 22 지금 무엇이 정상적인가 | 통계학이 지닌 정치적 속성 23 조건부확률 | 직관과 상식의 함정에 빠지지 않는 비결 24 인터넷 검색의 비밀 | 자기들끼리 인기투표를 하는 구글 제6부 알려진 것과 알려지지 않은 것 : 경계 25 가장 외로운 수 | 쓸쓸해서 더 신비로운 소수 이야기 26 매트리스 수학 | 침대 매트리스를 뒤집는 가장 수학적인 방법 27 뫼비우스의 띠 | 고무처럼 늘어나는 위상수학 엿보기 28 구면기하학과 미분기하학 | 지구 위의 최단 거리를 찾아주는 기하학 29 해석학 | 수학이 병에 걸렸을 때 찾는 치료법 30 힐베르트 호텔 | 무한 명의 손님과 무한 개의 호텔방

험프리는 주문을 자세히 듣고 주방에 그 주문을 소리쳐 알려준다. “생선, 생선, 생선, 생선, 생선, 생선!” 그것을 보고 어니는 6이라는 수가 얼마나 편리한지 깨닫는다. 어린이는 이 이야기를 통해 수가 얼마나 편리한 것인지 배운다. 펭귄 수만큼 ‘생선’을 계속 외치기보다는 6이라는 수를 사용하면 훨씬 편리하기 때문이다. -22~23쪽 또 한 가지 미묘한 점은 수는 (이 점에서는 다른 수학 개념들도 모두) 나름의 생명을 갖고 있다는 사실이다. 우리는 수를 마음대로 통제할 수 없다. 수는 우리 마음속에 존재하지만, 수가 무엇을 의미하는지 정하고 나면, 우리는 수의 행동에 간섭할 수가 없다. 수는 나름의 법칙을 따르고, 나름의 속성과 개성과 서로 결합하는 방식이 있으며, 우리는 그저 지켜보고 이해하려는 노력만 할 수 있을 뿐 아무런 영향도 미칠 수 없다. 이 점에서 수는 기묘하게도 이 세계의 물질인 원자와 별을 연상시키는데, 원자와 별도 우리의 통제에서 벗어나는 법칙을 따르기 때문이다. 다만, 이것들은 우리의 마음 밖에 존재한다. -24쪽 일단 깊이 생각하기 시작하면, 곱셈은 실제로 상당히 미묘하다. 용어부터 그렇다. ‘7 곱하기 3(seven times three)’은 ‘7을 세 번 더하는 것’일까, 아니면 ‘3을 일곱 번 더하는 것’일까? -43쪽 무엇보다도 자리값 수 체계를 사용하면 보통 사람들도 셈을 배울 수 있다. 몇 가지 사실 ? 구구단과 덧셈에서 그에 해당하는 규칙 ? 만 알면 된다. 이것들만 알면 나머지는 알 필요가 전혀 없다. -63쪽 미지수의 값을 구해야 하는 상황은 아주 많다. 갑상선 종양의 크기를 줄이려면, 방사선을 얼마나 쬐야 할까? 연 5% 고정 금리 조건으로 받은 20만 달러의 대출금을 30년 동안 갚으려면, 매달 얼마씩 내야 할까? 로켓이 지구의 중력을 뿌리치고 탈출하려면, 얼마나 빠른 속도로 날아야 할까? -97쪽 종이를 일곱 번이나 여덟 번 이상 접기 힘든 이유4도 이 때문이다. 한 번 접을 때마다 종이 뭉치의 두께는 약 두 배씩 증가하면서 지수함수적으로 증가한다. 반면에 종이 뭉치의 길이는 매번 절반으로 줄어들므로, 지수함수적으로 빠르게 ‘감소’한다. -110~111쪽 우리가 음악을 들을 때 뇌도 이와 비슷한 마술을 보여준다. 음계를 이루는 각 음 ? 도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시, 도 ? 의 진동수는 우리 귀에 똑같은 단계씩 증가하는 것처럼 들린다. 하지만 객관적으로는 그 진동수는 ‘배수 단위’로 증가한다. 따라서 우리는 소리의 음을 로그값으로 인식하는 셈이다. - 112쪽 내 직감적 판단(솔직하게 말하면, 나도 개인적으로 기하학을 아주 좋아한다)으로는 사람들이 기하학을 좋아하는 이유는 기하학이 논리와 직관을 ‘결합’시키기 때문인 것 같다. 좌뇌와 우뇌를 동시에 사용할 때 우리는 큰 만족감을 얻는다. -117쪽 아르키메데스는 미적분학의 기초를 놓은 것 외에도 근사와 반복의 위력을 보여주었다. ... 이 덕분에 생물공학에서부터 월스트리트와 인터넷에 이르기까지 현대 생활의 모든 측면에서 맞닥뜨리는 문제들을 푸는 데 컴퓨터를 활용할 수 있게 되었다. 이 모든 경우에 사용되는 기본 전략은 극한값으로 존재하는 정답에 수렴하는 일련의 근사를 찾아내는 것이다. 이 방법이 우리를 어디로 안내할지는 아무도 모른다. -166~165쪽 최선의 전략은 아닐지라도 좋은 전략이 한 가지 있다. 그것은 연애 인생을 이등분하는 것이다. 첫 번째 절반의 상대와는 그냥 연애만 즐기되, 두 번째 절반의 상대를 사귈 때에는 진지한 자세로 접근한다. 그리고 그때까지 만난 사람들보다 더 나은 사람을 만나면, 망설일 것 없이 그 사람을 선택하면 된다. 이 전략을 사용하면, 최선의 상대를 선택할 확률이 최소한 25%는 된다. 그 이유는 다음과 같다. 두 번째 연애 인생에서 최선의 상대를 만날 확률은 50 대 50이고, 첫 번째 연애 인생에서 차선의 상대를 만날 확률도 50 대 50이다. 만약 실제로 이 두 가지 사건이 모두 일어난다면(그 확률은 25%가 된다), 여러분은 진정한 사랑을 만나게 될 것이다. -193~194쪽 춤을 배우려는 사람에게 오른발과 왼발을 옮기는 방법과 순서를 알려주는 화살표가 잔뜩 표시된 다이어그램을 생각해보자. 이 화살표들이 바로 벡터이다. 화살표는 두 종류의 정보를 담고 있다. 하나는 방향(발을 어느 쪽으로 움직여야 할지)이고, 또 하나는 크기(얼마나 멀리 움직여야 할지)이다. 모든 벡터는 이와 똑같은 이중의 정보를 담고 있다. -204쪽