평생 필요한 수학머리의 기초를 다지다 영재고 수학 수석 졸업생이 펼쳐내는 색다른 수학의 세계 세종과학예술영재고등학교 수학 수석 졸업, 프리스턴 대학교 물리대회 은상, 미국수학경시대회에서 상위 2~5%! 수학을 포기한 사람들이 지레 겁을 내는 작가의 수학적 재능 결과는 결코 어려운 시험에만 국한되지 않는다. 수학의 재미를 알려주고 흥미를 일깨워주기 위해 ‘디멘’이라는 필명으로 페이스북과 티스토리에 다양한 수학의 풀이 과정을 펼치며 쉽고 간단하게 그리고 수학만이 갖고 있는 아름다운 성질을 알렸다. 그리고 이 책은 수학의 유쾌한 모든 이야기를 더한 한 권이다! 수학은 결코 어렵지 않다. 6개의 기호와 12개의 추론 규칙, 그리고 적절히 정의된 공리계만으로도 설명 가능할 정도로 간단하다. 다만 논리적 추론을 위한 언어라는 차이만으로 곧바로 이해하는 데 어렵다고 착각할 뿐이다. 이 책은 우리가 쓰지 않아 굳어졌던 논리적 사고를 자극함으로써 사라졌던 수학머리를 되찾는 데 도움을 준다. 주어진 사실로부터 새로운 사실을 추론하는 능력, 여러 개념 사이의 연관성을 찾아내는 능력, 문제의 핵심을 꿰뚫고 이를 해결하는 데 필요한 조건을 찾아내는 능력. 이 모든 능력이 수학을 통해 우리가 배우고자 하는 것입니다. 「들어가며_수학이라는 아름다운 여정을 시작하기에 앞서」에서 수학은 결코 어려운 문제를 풀기 위한 도구가 아니다. 복잡하고 난해해 보이는 문제 속에 감춰진 원리를 찾는 것이다. 작은 점, 직선, 평면으로 시작해 더 거대한 세상에 대해서도 추론할 수 있도록 만들어준다. 3×3 둘러싸인 큐브의 가운데 보물이 있다면? 작가의 이야기에서는 간단해진다. 고차원으로 생각하면 빼낼 수 있다. 또한 의자의 다리가 4개인 이유, 종이를 끼지 않고도 흔들리는 의자를 바로잡는 일은 이 책에서만 만날 수 있는 재미다. 더 나아가 우주까지 더듬게 해주는 이 책은, 삼각형의 세 내각의 합이 180도라는 사실만으로도 지구가 둥글다는 실험과 그 결괏값으로 우주의 평평하다는 증명을 설명한다. 만약 이 책을 펼쳤다면 다시는 잊지 않을 새로운 수학을 선사해 줄 것이다. 복잡한 계산도 어려운 수식도 없이 술술 읽힌다 각각의 흥미로운 이야기가 하나의 수학적 논리로 마술처럼 꿰어지는 책 비둘기집 원리로 확률을 연결하고 커피를 휘젓는 방법으로 고정점과 슈페르너의 색칠을 탐구하는 것. 지구를 관통하는 터널을 상상하며 대척점의 존재를 확인하고 해석기하를 탐구하는 것. 가장 빠른 비행기 착석 방식과 수월하게 책을 순서대로 정리하는 방법으로 효율적인 알고리즘을 생각하는 것. 이 책의 가장 큰 재미는 구체적인 상황 속으로 독자를 끌어놓는 데 있다. 다만 가장 좋은 해답을 찾는 과정이 아닌, 엄밀한 방식으로 자신의 논리를 확장할 수 있게 해줌으로써 지루하고 어렵다는 수학의 오해에서 벗어나게 해준다. 이 책의 전반부에서 수학의 언어를 살폈다면 후반부에서는 유쾌한 스토리를 통해 각 숲속에 숨어 있는 비밀을 풀어나가는 과정을 담고 있다. 더러 어려운 수식에서 책 읽기를 멈출 수 있겠지만 작가의 쉬운 해설이 달려 있어 문제는 없다. 가장 많이 포기하는 미적분에 대한 설명은 통쾌할 정도다! 미분은 기울기를 구하고 적분은 면적을 구하는 방법이라는 간단한 정의에서 벗어날 수 있게 돕는다. 미분과 만유인력의 법칙을 발견한 뉴턴은 행성이 공전하는 속도와 언제 어떤 천체가 관측될지 또한 계산할 수 있었다. 앞선 이야기에 나온 수학적 논리를 기억하게끔 만들고 다시 몇 가지 흥미로운 주제를 향해 가는 것, 결국 하나의 수학적 논리로 꿰뚫는 힘은 이 책에만 존재한다. 또한 클레이 수학연구소에서 정한 밀레니엄 문제와 푸앵카레의 추측을 증명한 수학자 페렐만, 죄수의 딜레마와 세일즈맨 문제 등 이 책에는 평소 자주 언급되었던 이야기까지 가득 채워져 있다. 게다가 물리학과 수학이 만나 미래를 예측하려는 시도, 인과적 결정론이라는 라플라스의 악마에 대한 이야기까지 더해 수학과 우주, 우리가 사는 지금 시간에 대한 이야기까지 깊이 있게 다루고 있다. 작가가 준비한 전 과정을 마쳤을 때 비로소 우리는 수학이라는 낯선 세계의 탐험을 난생처음 마치게 되는 것이다. 감수의 글_발칙한 수학 스토리텔러의 발칙한 수학책! 이 책은 발칙하다. “하는 짓이나 말이 매우 버릇없고 막되어 괘씸하다”라는 뜻이 이 책에는 자연스럽게 연결된다. 수학을 다루는 저자의 솜씨와 생각은 시중에 나와 있는 다른 수학 교양서적에서는 결코 찾아볼 수 없다. 어떠한 규칙 없이 이리저리 글을 진행하는 것 같고, 전혀 관계 없는 수학 이론을 마구잡이로 도입하는 것만 같지만 페이지를 넘길수록 수학의 깊이 있는 모습을 마주하게끔 만든다. 모든 수학 내용이 마치 날줄과 씨줄처럼 정교하게 얽혀 있는 덕분이다. 매우 창의적이며 융합적이라는 데 의심의 여지가 없다. 독자는 이 책을 읽는 종종 머뭇거릴 수 있다. ‘도대체 지금 내가 무엇을 읽고 있는 것일까’ 하지만 인내심을 갖고 읽기를 지속한다면 저자가 펼쳐놓은 이야기가 점점 한 가지로 모여든다는 것을 깨닫게 될 것이다. 마치 넓은 바다에 거대한 그물을 던진 후 서서히 당겨 물고기를 잡듯, 저자는 거대한 수학의 그물을 바다에 던진 후 수학의 매력으로 독자를 끌어당긴다. 사실 이 책의 원고를 검토해달라는 의뢰를 처음 받았을 때만 해도 ‘대학생이 쓴 글이니 손봐야 할 부분이 많지 않겠어’라며 방대한 검토 내용을 어떻게 정리할지 망설였다. 하지만 내 생각은 원고의 1부 첫 장을 읽는 순간 기우였음을 인정하지 않을 수 없었다. 글은 마치 수학의 세계를 탐험하기 위해 발사된 우주선처럼 수학의 여러 행성을 아주 안전하고 매끄럽게 지나 수학에 관한 저자의 생각에까지 너무나도 평안하게 도착했다. 수학에 관한 교양서적을 꽤 썼다고 자부하고 있는 나조차 ‘나는 왜 이렇게 생각하고 설명하지 못했을까’라는 자책마저 들게 되는 명쾌한 설명이 있었고 재미있게 처리된 삽화까지 곁들여져 내용을 단숨에 읽어낼 수 있었다. 이 글을 모두 읽고 난 이후에 가장 먼저 든 생각은 서두에서 말했듯이 발칙하다는 거였다. 그리고 잠시 숨을 고르고 감수의 글을 쓰려고 하자 마치 잘 차려진 코스요리를 맛있게 먹고 난 후의 만족감이 밀려왔다. 모두 4부로 이루어진 이야기는 간단한 음료로 시작해 애피타이저로 이어졌고, 셰프의 정성이 가득한 메인 요리를 거쳐 달콤한 디저트까지 정말 행복하고 만족스러운 코스요리를 대접받은 기분이었다. 그래서 감히 독자 여러분에게도 잘 차려진 이 코스 요리를 강력히 권하고 싶다. 세상에 수학 요리를 이렇게 맛있게 만들어낼 수 있는 요리사는 흔치 않다. 그것도 아주 젊은 수학자가 쉽지 않은 요리 재료를 이 정도의 글과 내용으로 요리할 수 있음은 실로 놀라운 일이다. 앞으로 저자의 또 다른 책을 기대하게끔 하는 매우 훌륭한 결과물이기에 나는 이 책에 대해 권하고 또 권한다는 말밖에 더 이상 할 말이 없다. 그래서 나는 이 책에 어떤 내용이 어떻게 소개되고 있는지를 구태여 설명해 스포일러가 되지 않기를 바란다. 다만 저자의 말대로 1부에서는 주로 수학의 언어를 규정했고, 2부에서는 수학의 힘을 통해 고차원과 무한 등 현실을 초월하는 개념을 다루었으며, 3부에서는 이런 논리적 추론을 다양한 문제에 적용해 4부에서는 실생활에 적용했다는 정도만 소개하겠다. 장담하건대 독자 여러분이 이 책을 다 읽고 나면, 대단한 수학 스토리텔러가 혜성처럼 등장했음을 알아차림과 동시에 아주 젊은 수학자가 새로운 시대의 문을 여는 순간에 서 있음을 느끼게 될 것이다. 모두 이 순간을 지켜보기 바란다. 이광연, 《수학, 인문으로 수를 읽다》 저자

감수의 글_발칙한 수학 스토리텔러의 발칙한 수학책! 들어가며_수학에 대한 오해 1부 순수한 별이 빛나는 수학의 밤하늘 1. 수학의 언어와 문법 엄밀함과 명료함은 수학의 생명 수학의 뼈대를 이루는 12개의 기호 논리 기호로 오목과 볼록을 표현해 보자! 과연 디멘의 주장은 맞았을까? 2. 빨대 구멍의 개수는 1개일까, 2개일까? 빨대를 조물조물 구멍 개수의 정의 * 뫼비우스 띠의 구멍 개수는? ‘조물거리다’의 정의 3. 수학의 탑 1층에는 공리가 있다 의미 없는 단어에서 의미를 만드는 방법 건반을 두드린다고 음악이 되는 건 아니다 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학 괴델의 불완전성 정리 * 인간의 이성을 표현하는 12개의 추론 규칙 2부 자유로운 구름이 떠다니는 수학의 들판 1. 차원의 한계를 수학으로 넘어서기 아르센의 보물 훔치기 아르센의 보물 훔치기-속편 4차원 공이 3차원에서 굴러다닌다면? 4차원을 그리는 방법 가장 단순한 4차원 도형은? 우주의 모양을 탐험하다 2. 무한을 넘어, 더 무한한 무한으로 무한호텔에 어서오세요 모든 무한이 같지는 않다 셀 수 없을 정도로 큰 집합 연속체 가설과 알레프 수 완두콩으로 태양을 덮는 방법 * 수학계의 뜨거운 감자, 선택공리 3부 보물이 숨어 있는 수학의 숲 1. 문제 속에 감춰진 비둘기를 찾아서 보물이 숨어 있는 수학의 숲 두 개의 문제, 하나의 원리 * 생일이 같은 사람이 존재할 확률 정사각형과 비둘기 집 * 피타고라스 정리 두 번째 보물 2. 머그잔 안, 계핏가루의 왈츠 어린 시절의 소소한 탐구 갑자기 분위기 색칠놀이 슈페르너의 여행 증명의 클라인맥스 머그잔이 원형이라면? 커피의 숲을 떠나며 쓰는 기행문 3. 지구 정반대에 있는 인연을 찾아서 지구를 관통하는 터널 돌아온 도적 아르센 기온이 동일한 두 대척점이 존재할까? * 흔들리는 탁자를 고치는 방법 보르수크-울람 정리 목걸이 문제에 숨어 있는 보르수크-울람 정리 * 해석기하가 처음인 분들을 위해 다시, 증명의 클라이맥스 마지막 떡밥 4부 수학의 눈으로 바라본 세상 1. 가장 효율적인 방법을 찾아서 비행기 탑승은 너무 느려 1,000권의 책을 정렬하라고요? 반으로 쪼개고 쪼개고 쪼개기 책을 가장 빠르게 정렬하는 방법 P vs. NP 문제 남의 떡이 작아 보이도록 분배하기 2. 인생은 게임이고, 게임은 수학이다 스타벅스 옆에는 커피빈이 있더라 죄수의 딜레마와 담배 회사 각설탕을 찾으러 간 마카롱과 찹쌀떡 도로를 더 만들었는데 교통체증이 심해진다? * 찾을 수는 없지만 존재하는 것들 3. 실용적인 수학의 최고봉, 미적분 변화율로부터 미래를 예측하기 미분의 핵심 원리 * 적분의 핵심 원리 바이러스를 조금 더 잘 예측해 보자 4. 카오스 속에서 미래를 내다보는 수학 수학과 물리학이 창조한 신-라플라스의 악마 천체를 계산하나 수도꼭지의 물줄기는 계산하지 못하다 시치미 떼는 입자와 확률적 우주 절대로 예측할 수 없는 것에 대해 부록

수학은 어떤 학문일까요? 우리 모두 학교에서 수학을 공부했지만, 아이러니하게도 수학이 어떤 학문인지 정확히 이해하고 있는 사람은 매우 드뭅니다. 너무 많은 사람이 수학이 숫자를 계산하는 학문이라고 오해하고 있기도 하죠. 이러한 오해는 미디어에서 뚜렷이 나타납니다. 영화와 드라마 속 대부분의 수학 천재는 복잡한 계산을 순식간에 해치우는 인간 컴퓨터처럼 그려집니다. 이들은 농구공을 던지기 직전 머릿속으로 농구공의 질량과 중력가속도 등을 계산해내 완벽한 3점 슛을 성공시킵니다. 하지만 수학자들이 계산을 잘할 것이라는 생각은 피아니스트가 피아노를 잘 만들 것이라는 생각과 다를 바가 없을 정도로 큰 착오입니다. 오히려 순수수학은 자연과학부에서 계산이 가장 필요 없는 분야 중 하나입니다. 이 오해는 사람들이 수학을 지루한 계산과 어려운 숫자로 가득찬 학문으로 생각하고 기피하도록 만든다는 점에서 특히 유감스럽습니다. 수학은 절대 이러한 학문이 아닙니다. 이 책에 복잡한 숫자 계산이 하나도 없는 이유입니다. p.14~15 모든 언어는 기호와 문법으로 이루어져 있습니다. 영어는 라틴 알파벳, 한국어는 한글, 중국어는 한자라는 기호를 사용하죠. 이 기호를 각 언어의 문법에 알맞게 배열하면 문장이 완성됩니다. 마찬가지로 수학도 몇 가지의 기호와 문법으로 이루어져 있습니다. 정확히 말하자면, 수학은 단 6개의 기호와 12개의 추론 규칙, 그리고 적절히 정의된 공리계로 이루어져 있는 언어입니다. 다만 수학이 다른 언어와 구별되는 유일한 점은, 일상생활에서 서로가 소통하기 위한 언어가 아니라 논리적 추론을 기술하기 위한 언어라는 점입니다. 그리고 논리적 추론이 가능하기 위해서는 모든 문장의 참과 거짓을 확실히 판별할 수 있어야 합니다. 한 치의 애매함도 없이 말이죠. p.24~25 한때 인터넷을 뜨겁게 달군 질문이 있습니다. 바로 ‘빨대 구멍의 개수는 1개일까, 2개일까’라는 내용이었죠. 인터넷에서는 이런 의미 없는 주제에 열광하는 법 아니겠어요? 먼저 빨대 구멍의 개수가 2개라고 주장하는 사람들은 음료가 들어가는 구멍 1개, 음료가 나오는 구멍 1개가 있으니 총 2개라고 말합니다. 여기에 맞서 빨대는 그저 하나의 긴 구멍이기 때문에 빨대 구멍은 1개라고 주장하는 사람도 있습니다. 게다가 구멍의 개수가 0개라는 주장도 있습니다. 빨대는 직사각형을 돌돌 말아서 만들었을뿐더러 송곳 같은 물체로 벽면을 뚫은 것이 아니므로 구멍이 없다고 말합니다. 놀랍게도 세 주장 모두 어느 정도 일리가 있습니다. 빨대 구멍 개수에 대한 논란이 생기는 이유는, 사람마다 생각하는 구멍의 정의가 조금씩 다르다는 데 있습니다. 그렇다면 구멍의 올바른 정의는 무엇일까요? 언어학적인 관점에서 이런 질문은 무의미합니다. 어휘는 사람마다 생각하는 정의가 조금씩 다르기 마련이며 무엇이 더 낫다고 말하기 어렵습니다. 모두 다 정답인 셈이죠. 하지만 수학적 관점은 다릅니다. 모든 용어를 명료하게 정의하길 좋아하는 수학은 구멍에 대해서도 엄밀한 정의를 가지고 있으며 하나만을 정답으로 인정합니다. 하지만 수학에서 어떻게 구멍을 정의하는지 알아보기 전에, 우리끼리 논리적인 접근을 시도해볼게요. p.42~43 그럼 우주는 어떻게 생겼을까요? 우주의 곡률을 계산하는 한 가지 방법은 앞서 이야기했듯이 우주에 커다란 삼각형을 그린 뒤 삼각형의 세 내각의 합을 구하는 것입니다. 하지만 실제로 우주에 커다란 삼각형을 그릴 수는 없기 때문에 물리학자들은 우주배경복사로부터 우주의 초기 모습을 분석하고, 그로부터 우주 내 점들의 공간적 관계를 구했습니다. 이 데이터를 통해 ‘만약 우주에 실제로 커다란 삼각형을 그렸더라면’이라는 질문에 대한 세 각의 합을 구할 수 있었습니다. 그 결과 우주는 겨우 ±0.4퍼센트 오차 이내로 평평하다고 합니다. ±0.4퍼센트 오차면 여러분의 책상보다 더 평평할지도 모릅니다. 거의 완벽하게 평평한 셈이죠. 우주가 평평하다는 사실은 신기한 구조의 우주를 기대했던 분들에게 조금 실망스러운 결과일지도 모르겠네요. 하지만 우주가 평평하다는 것은 오히려 더욱 충격적인 사실입니다. 앞서 말했듯이 우주의 구조는 우주가 포함하고 있는 물질과 에너지의 총량에 따라 결정되는데, 우주가 평평하기 위해서는 이 요인들이 완벽하게 맞아 떨어져야 합니다. 물리학자들은 이렇게 낮은 확률에도 불구하고 우주가 어떻게 완벽한 유클리드적 구조를 가지고 있는지 골머리를 앓고 있습니다. 혹시 어떤 초월적 존재가 우주를 이렇게 완벽하게 만든 건 아닐까 하는 소름 끼치는 생각이 들기도 하네요. p.84 물체의 위치를 표현하는 데 필요한 방향의 최소 개수를 그 공간의 차원이라고 합니다. 평면에서는 두 가지 방향(가로/세로)으로 모든 위치를 표현할 수 있습니다. ‘가로로 +2m, 세로로 -1m’와 같이 표현하면 평면의 모든 위치를 다 표현할 수 있을 테니까요. 그래서 평면은 2차원입니다. 한편 입체는 세 가지 방향(가로/세로/높이)이 필요합니다. 따라서 입체는 3차원입니다. 1차원과 0차원은 어떻게 생겼을까요? 물체가 한 방향으로밖에 움직일 수 없다는 말은, 그 물체는 일직선으로만 움직인다는 뜻입니다. 즉 1차원은 직선입니다. 한편 0차원은 물체가 어떤 방향으로도 움직일 수 없다는 말입니다. 물체가 한곳에 고정되어 있다는 뜻이므로 0차원은 점입니다. p.108~109 우리와 같은 3차원 생물 입장에서는 앞의 그림처럼 경보 장치(파란색 사각형)와 함께 보물(보라색 사각형)이 보입니다. 하지만 2차원 생물은, 보물이 경보 장치에 완전히 가려져 보이지 않을 것입니다. 그들 입장에서 이 구조물을 바라보면 구조물의 경계인 파란색 선밖에 보이지 않을 것입니다. 그 안에 보물이 있다는 사실도 모를 수밖에요. 하지만 우리는 2차원에는 없는 3차원의 방향(높이)으로 사물을 내려다볼 수 있어 경보 장치의 겉(테두리)과 속(안에 있는 보물)을 한꺼번에 확인할 수 있습니다. 마찬가지로 3차원 생물인 우리에게는 경보 장치의 겉만 보이지만, 4차원 생물체가 다음의 큐브를 보면 우리에게는 잘 상상되지 않는 방향으로 큐브의 겉과 속을 한 번에 볼 수 있을 것입니다. 나아가 4차원 생물에게는 우리의 얼굴과 몸 속의 기관이 한꺼번에 보일 것이며, 어떤 집에 누가 살고 있는지는 물론이며 지구의 구조마저 한눈에 보일 것입니다. 상자 안에 갇힌 물건을 빼낼 수 있는 공간, 겉과 속이 한꺼번에 보이는 공간까지도요. 4차원은 우리에게 묘한 신비감과 함께 우리의 인식 범위 너머에 있는 수많은 공간에 대한 상상을 자극합니다. 4차원에 새로운 방향을 더하면 5차원이 되고 이런 식으로 6차원, 7차원까지 생각할 수 있겠지만, 이 책에서는 4차원에 집중하겠습니다. (4차원으로도 충분히 재미있거든요!) p.113~114 지금까지 우리는 자연수의 집합이나 정수의 집합 등 대수적인 대상에 집중했습니다. 정수 집합은 자연수 집합보다 2배 더 크지만 기수는 동일합니다. 기하학적인 대상에도 마찬가지 논리가 성립합니다. 예를 들어 2개의 구는 1개의 구보다 2배 더 많은 점을 가지고 있지만, 2개의 구나 1개의 구 모두 기수 ?1의 점을 가지고 있습니다. 그러면 혹시 한 개의 구를 여러 개의 조각으로 적당히 자르고 잘 이어 붙이면 2개로 만들 수도 있지 않을까요? 이미 모든 방이 다 차있는 힐베르트 호텔에서 무한 개의 방을 더 내줄 수 있듯이 말입니다. 이 문제를 고민한 스테판 바나흐(Stefan Banach)와 알프레드 타르스키(Alfred Tarski)는 실제로 가능하다는 것을 보였습니다. 바나흐와 타르스키의 결론은 직관과 너무나도 어긋나는 결과인 탓에 올바른 정리임에도 불구하고 ‘역설’이라는 이름이 붙었습니다. p.174 어렸을 적 땅을 파고 계속 들어가다 보면 지구 반대쪽에서 나오지 않을까 하는 상상을 해본 적 있나요? 나중에 지구과학을 배우며 이러한 터널을 만드는 일이 불가능하다는 것을 알게 되지만, 그래도 꽤 재미있는 상상입니다. 물리학에서 유명한 문제 중 지구의 중심을 지나는 터널을 뚫은 뒤, 거기에 택배를 떨어뜨리면 지구 반대편에 도착하기까지 얼마나 걸릴지 계산하는 문제가 있습니다. 놀랍게도 택배 무게와 상관없이 고작 42분밖에 안 걸린다고 합니다. 나중에 엄청난 기술력으로 그런 터널을 만들 수 있다면 혁명적인 퀵서비스가 되겠네요. 하지만 안타깝게도 이러한 터널을 만들 수 있는 기술력이 생겨도 지구 관통 퀵서비스가 서울에서 시행될 것 같지는 않습니다. 서울의 정반대편은 바다이기 때문이죠. 멀지 않은 곳에 아르헨티나와 우루과이가 있지만 아깝게 어긋납니다. 그나마 지구 직통 퀵서비스의 한국 1호점으로 가능성이 있는 곳은 제주도입니다. 제주도의 반대편은 브라질과 우루과이의 국경이기 때문에 꽤 유리한 위치거든요. 지구를 관통하는 터널을 뚫었을 때, 터널 양끝의 두 점은 대척점의 관계에 있다고 합니다. p.229~230 책을 좋아하는 티모는 도서관 사서로 취직했습니다. 어느 날 도서관 측에서 책 1,000권을 새로 구입했습니다. 티모는 더 많은 책을 접할 생각에 기뻐했지만, 막상 1,000권이 도착하니 문제를 실감했습니다. 이제 티모는 책 1,000권을 도서관 코드번호 순으로 정렬해야 합니다. 어떤 알고리즘을 사용해야 가장 빠르게 책을 정렬할 수 있을까요? 티모의 머리에 가장 먼저 떠오른 알고리즘은 다음과 같았습니다. 책 더미의 첫 번째 책과 두 번째 책의 코드번호를 비교합니다. 이 중 번호가 낮은 책은 그대로 두고 번호가 더 큰 책은 세 번째 책과 비교합니다. 마찬가지로 번호가 더 낮은 책은 그대로 두고 번호가 더 큰 책을 네 번째 책과 비교합니다. 이렇게 계속