문과적 사고와 이과적 사고는 한 끗 차이 비즈니스에서 필수적인 가설 사고 수학의 큰 틀을 이해하기 위해 미리 알아 둬야 하는 것이 있다. 그것은 바로 ‘수학적 발상은 문과적 발상과 한 끗 차이’라는 점이다. ‘비즈니스적 발상과 한 끗 차이’라고도 할 수 있다. 지금까지 살면서 골치 아픈 문제에 직면한 경험을 떠올려 보자. 학생이라면 동아리나 아르바이트 장소에서 있었던 일도 좋다. 문제를 파악하고 정리하여 해결하기 위해 두뇌에 땀이 날 정도로 머리를 짜냈을 것이다. 제한된 정보에서 가설(임시 답안)을 도출한다거나, 표나 그림으로 정보를 정리한다거나, 복잡한 문제를 단순하게 분해하여 논의가 쉽게 진행되도록 한다거나. 지엽적인 부분에서 눈을 돌려 전체를 봤더니 새로운 사실을 발견한 경험도 있을 것이다. 수학의 근본에도 이런 문과적, 비즈니스적 발상과 똑같은 발상이 존재한다. 단지 수학에서는 말 대신 수식으로 사고를 이어 나간다는 점이 다를 뿐이다. 인간 사회에도 자연계에도 수많은 미지의 존재가 있다. 하지만 모른다고 해서 생각하기를 그만둔다면 문명의 발전은 이루어지지 않을 것이다. 모르는 게 있을 때는 가설을 세워 생각을 이어 나가야 한다. 이럴 때 문과 출신 사업가라면 어떻게 할까? 전략 컨설팅업계에는 ‘가설 사고’라는 말이 있다. 새로운 사업을 시작할 때 수중에 있는 한정된 정보만 가지고 가설을 세워 이야기를 전개하는 사고법을 말한다. 예를 들어 어떤 자동차 회사의 판매가 타사에 비해 부진하다고 하자. 그러면 가격이 지나치게 비싸다, 딜러 같은 판매 경로가 비효율적이다, 광고가 부족하다… 등등 가설을 세워 대응책을 검토할 것이다. 이런 사고법은 수학에서도 찾아볼 수 있는데, 그것이 바로 대수학이다. 통계학으로 거짓말을 간파하라 빅데이터 시대를 살아가기 위한 수학 통계학은 조감(鳥瞰)하듯이 데이터를 관찰하여 특징을 파악하고 거기에서 지식을 얻는 학문이다. 고대 그리스에서부터 활발하게 연구가 이루어진 대수학이나 기하학과 달리 통계학의 역사는 비교적 짧다. 학문으로써 인식되기 시작한 것은 겨우 17세기부터다. 미적분학도 체계적인 학문으로 발전하기 시작한 것은 17세기 뉴턴, 라이프니츠에 의해서였으며, 이 두 분야는 사대천왕 중에서도 젊은 축에 속한다고 할 수 있다. 17세기경 유럽에서는 국가의 행정 기능이 진보하여 인구와 경제에 관한 데이터를 조직적으로 수집하고 분석하는 체제가 마련되었다. 하지만 방대한 데이터를 눈앞에 둔 관리들은 난감할 따름이었다. 산더미 같은 데이터를 바라보고만 있어서는 그 데이터가 결국 무엇을 말하는지 알 수 없었기 때문이다. 통계학은 이처럼 방대한 데이터의 특징을 파악하여 지식을 얻는 방법론을 확립하고자 하는 사회적 수요에 의해 탄생했다. 통계학은 크게 3가지 분야로 나눌 수 있다. 첫 번째는 방대한 데이터의 해석 방법을 체계화한 기술 통계학이다. 기술 통계학은 3가지 통계학 중 가장 먼저 등장한 것으로, 통계학 전체의 토대를 이룬다. 두 번째는 제한된 데이터로부터 전체 상황을 추측하는 추측 통계학이다. 추계 통계학이라고도 한다. 선거의 승패나 신약의 효과를 추측하기 위해 유권자 전체를 인터뷰하거나 전 세계 모든 환자를 대상으로 시험하는 것은 비현실적이다. 이럴 때 출구 조사나 임상 시험같이 일부를 조사해서 전체 상황을 추측하는 추측 통계학 기법이 요긴하게 쓰인다. 이처럼 추측 통계학은 현대 문명에 없어서는 안 되는 존재다. 세 번째는 AI 시대를 맞아 주목도가 높아지고 있는 베이즈 통계학이다. 빅데이터 시대라고도 불리는 요즘은 매일 새로운 데이터가 생겨난다. 베이즈 통계학의 최대 특징은 새로운 데이터를 받아들여 기존 데이터에 기반한 예측을 수정하는 ‘학습 기능’이다. 끊임없이 새로운 데이터가 생성되는 현대 사회에서 수요가 높아지고 있는 분야다. 기하학은 삼각형에서 시작한다 삼각형은 도형의 최소 단위 기하학은 형태를 연구하는 학문이지만, 형태가 있는 것뿐만 아니라 데이터같이 형태가 없는 것에도 널리 응용된다. 육교나 경사로 설계에 삼각함수를 활용한다고 설명했는데, 이것은 형태가 있는 것에 응용한 사례다. 육교나 경사로를 설계할 때는 경사면의 기울기(수평면으로부터 기울어진 정도)를 정하는 것이 중요하다. 그 기울기를 수치화해서 검토하기 위해 경사면을 삼각형의 빗변으로 간주하여 삼각함수로 나타낸다는 이야기였다. 또 형태가 없는 것에 응용한 예로, 직각삼각형에 관한 정리인 피타고라스 정리가 빅데이터 분석에 쓰인다는 이야기도 했다. 피타고라스 정리로 데이터 사이의 거리를 구해 데이터를 분류한다는 내용이었다. 공교롭게도 둘 다 삼각형에 관한 이야기였는데, 이들만 그런게 아니라 원래 기하학에서는 삼각형이 모든 발상의 기초가 된다. 왜 삼각형이 중요할까? 이는 삼각형이 여러 가지 도형의 기본이기 때문이다. 평면 위에 도형을 그릴 때 적당한 두 점을 골라서 연결하면 선분이 된다. 여기에 점 하나를 더 찍어서 원래 있던 두 점과 연결하면 삼각형이 나타난다. 즉, 삼각형은 도형의 최소 단위라고 할 수 있다. 최소 단위인 삼각형을 깊이 이해하면 다양한 형태를 이해할 수 있다. 그 예로 평면 도형의 내각을 살펴보자. 삼각형의 내각을 모두 더하면 180°가 된다. 그러면 사각형, 오각형, 육각형의 내각의 합은 얼마일까? 참고로 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 등을 통틀어 다각형이라고 한다. 따라서 이것은 다각형의 내각의 합을 구하는 문제가 된다. ‘왜 수학을 배우는가’라는 물음에 답을 제시 “읽은 노력이 피가 되고 살이 되었음을…” 저자는 이 책을 집필하면서 특별히 애쓴 부분이 있다면, 왜 수학이 필요한지, 왜 그렇게 접근해야 하는지, 자신에게 또는 사회에 어떤 도움이 되는지 알기 쉽게 설명하여 ‘학습 동기를 유발하는 것’이었다. 왜냐면 현대 수학 교육에서 가장 부족한 것이 바로 동기부여이기 때문이다. 중고등학교 교과서에 나오는 수학은 인간의 욕구와는 동떨어진 고상한 학문처럼 꾸며져 있다. 하지만 이 책에서 수없이 봐 왔듯이 수학이 발전해 온 배경에는 사회의 여러 문제를 어떻게든 해결하고자 하는 인간의 욕구가 있었다. ‘필요는 발명의 어머니’라는 말도 있듯이 수학의 각 분야는 그것을 필요로 하는 사람이 있었기에 탄생했다. 수학에 대한 동기부여가 제대로 안 된 상태에서 갑자기 전문용어나 계산 방법을 가르치면 어렵고 재미없다는 반응이 나올 수밖에 없다. 원래 수학을 좋아하는 학생은 알아서 공부하겠지만, 그렇지 않은 학생은 시험 때문에 억지로 공부하고 사회에 나가서도 수학이라면 진저리를 친다. 그래서 이 책에서는 수학을 배우는 의의를 몸소 느낄 수 있도록 각 분야의 유용성이나 사회적 필요성, 실제 응용 사례 등을 소개하고 있다. 이 책의 사용법 이 책은 제1장부터 제5장까지 순서대로 읽는 것이 가장 좋지만, 바쁜 현대인으로서 처음부터 끝까지 읽기는 힘들 수도 있다. 그럴 때는 우선 제2장까지 읽고 그다음부터는 궁금한 분야만 골라 읽어도 좋다. 왜냐면 제1~2장에는 뒤에 나올 제3~5장의 내용을 이해하는 데 필요한 발상이 설명되어 있기 때문이다. 제3장, 제4장, 제5장의 내용은 거의 독립적이므로 관심 있는 부분만 읽어도 상관없다. 여러 장을 읽을 시간조차 없는 사람은 제1장만 읽어도 수학의 큰 틀을 이해할 수 있다. 다만, 수학의 큰 틀을 제대로 알고 사대천왕 전원과 친해지고 싶은 사람에게는 처음부터 끝까지 순서대로 읽기를 권한다. 이 책은 어려운 수학을 멀찍이서 내려다보게 함으로써 수학적 사고의 정수를 거부감 없이 전달한다. 이를 위해 다음과 같은 점에 특히 유의했다. ①중요한 전문용어는 알기 쉽게 해설하고, ②어려운 수식이나 공식, 계산은 철저하게 줄이고, ③각 분야의 배경에 있는 필요성과 활용 방법을 설명한다. 각 장을 읽고 나면 수학이 현대 문명에 구석구석 스며들어 사회를 지탱하고 있다는 사실을 깨닫게 될 것이다. 저자는 대학교와 대학원에서 물리학을 전공하고 대학원 시절에는 유럽원자핵공동연구소(CERN)에서 소립자물리학의 수리적 해석을 담당했다. 현재는 금융 시장을 정량적으로 분석하는 퀀트로서 일하고 있다. 수학을 무기로 비즈니스 경력을 쌓아 온 사람으로서 그 유용함을 누구보다도 잘 안다. 여러분이 이 책을 계기로 수학과 친해져서 비즈니스에 응용할 수 있게 된다면 그보다 더 큰 행복은 없을 것이다.

들어가며 제1장 다가올 시대에 필수적인 수학 사대천왕 1-1 대수학 : 모르는 것이 있으면 가설을 세운다 1-2 기하학 : 보이지 않는 것은 형상화하여 파악한다 1-3 미적분학 : 복잡한 것은 단순화하여 분석한다 1-4 통계학 : 거시적인 시각에서 전체를 내려다본다 제2장 대수학 가설을 세워 수수께끼를 푸는 수학 2-1 일차함수 : 심플 이즈 더 베스트의 대명사 2-2 이차함수 : 일상생활 속 보이지 않는 조력자 2-3 지수함수 : 인류를 쥐락펴락하는 스피드광 2-4 로그함수 : 숫자의 마법사 2-5 그래프 모양에서 아이디어를 얻어라 2-6 선형대수학 : 수많은 변수를 모아서 요리한다 제3장 기하학 시각화의 유용성을 보여주는 수학 3-1 기하학은 삼각형에서 시작한다 3-2 삼각함수는 궁극적인 사고 절약술 3-3 파동을 수학적으로 나타내는 푸리에 변환 제4장 미적분학 변화를 단순화하여 파악하는 수학 4-1 미적분학, 어디에 쓰면 좋을까? 4-2 미분과 적분의 시각적 이미지 4-3 요점만 간단히 알아보는 미적분 계산법 제5장 통계학 빅데이터 시대를 살아가기 위한 수학 5-1 기술 통계학은 요약해서 말한다 5-2 추측 통계학은 요리의 간 보기 5-3 베이즈 통계학은 시행착오를 거쳐 똑똑해진다 5-4 통계학에서는 데이터가 생명 마치며

가장 효과적인 방법으로 시각적 요소를 활용하는 방법이 있다. 인간은 눈으로 정보의 80%를 얻는 시각적 동물이다. 따라서 시각화는 이해를 돕는 데 큰 역할을 한다. 비즈니스에서도 그래프나 표를 적절하게 활용한 프레젠테이션이 좋은 평을 듣는다. 시각적으로 호소하면 발표자의 주장이 더 잘 이해되기 때문이다. 이처럼 눈에 보이는 형태로 변환하면 훨씬 이해가 빨라진다. 이럴 때 유용한 수학 분야가 바로 기하학이다. 이미지와는 다르게, 수학은 상당히 우리 삶과 밀접한 학문이다. 인간에게 이해하기 어려운 것을 알기 쉽게 번역해 주는 기능을 한다. 그중에서도 기하학은 데이터 같은 추상적인 대상에 형태(이미지)를 부여함으로써 이해를 돕는 학문이다. 원래 기하학은 형태를 연구하는 분야인데다, 무형의 것(데이터 등)을 유형의 것으로 변환하는 기능이 있기 때문이다. 기하학을 통해 추상적인 데이터를 ‘유형’의 것으로 변환함으로써 데이터 분석 또한 발전할 수 있었다. _38쪽에서 경사가 심한 비탈길이 나오면 지나가기가 상당히 힘들다. 어떤 육교는 가운데 부분이 계단 대신 경사면으로 되어 있어서 자전거나 휠체어, 유모차가 통행할 수 있는데, 그 경사가 가파르면 올라갈 때도 체력이 필요하고 내려올 때도 주의를 기울여야 한다. 한편 큰 역사 안에 있는 경사로는 대체로 기울기가 완만하게 설계되어 있어서 안심하고 지나갈 수 있다. 이러한 경사로 설계에 삼각함수가 사용된다는 사실을 아는가? 역사 내 경사로나 육교를 설계할 때는 사용 가능한 면적과 편리성 등을 고려해서 기울기를 정해야 한다. 육교는 공간이 한정적인 도로에 설치하는 데다 자동차나 가로수에 닿지 않을 정도로 높아야 해서 어쩔 수 없이 경사를 가파르게 설계하는 경우가 많다. 반면 지하철역이나 병원 같은 공공시설에서는 배리어프리를 중시하므로 완만한 경사로를 많이 볼 수 있다. 이렇게 상황에 따라 경사를 적절하게 설계하기 위해 삼각함수를 사용한다. 경사는 지면에 접하는 부분의 길이(수평거리)와 지면으로부터의 높이(수직거리)의 비로 나타낸다. _43쪽에서 주식 투자를 통해 자금을 불리고 싶을 때는 어떤 종목에 얼마를 투자할지 판단하는 것이 성패를 가른다. 왜냐하면 종목에 따라 주가 변동 유형이 다르기 때문이다. 예를 들어 철강, 화학, 유리 같은 소재 관련주, 공작 기계 같은 설비 투자 관련주 그리고 자동차 관련주는 경기의 영향을 쉽게 받아서 ‘경기민감주’라고 불린다. 경기가 불황일 때는 설비 투자가 저조해지고 자동차 구매를 미루는 경향이 있어서 실적 악화 우려로 주가가 크게 떨어진다. 반대로 호황일 때는 실적 회복이 기대되므로 주가가 크게 오른다. 이러한 업종은 이렇게 주가 변동이 심한 것이 특징이다. 요령 있게 투자하면 큰 이익을 기대할 수 있지만, 그만큼 위험성도 크다. 반대로 경기의 영향을 잘 안 받는 종목은 ‘경기방어주’라고 부른다. 주로 식품, 의약품, 전력, 가스 같은 인프라 계열이다. 아무리 불경기라도 아무것도 먹지 않고 필요한 약도 사지 않고 냉장고 콘센트까지 뽑아 가며 절약할 수는 없는 노릇이다. _74쪽에서 여러 함수의 그래프 모양을 머릿속에 넣어 두면 ‘이 상황에는 이 함수를 활용할 수 있지 않을까?’ 하고 직감적으로 깨닫게 되기 때문이다. 그래프 모양에서 아이디어를 얻은 예로 경제학 이야기를 빼 놓을 수 없다. 경제학이라고 하면 어떤 이미지가 떠오르는가? 이름 있는 대학교에는 반드시 경제학부가 있고, 노벨상에도 경제학 부문이 있을 정도로 고상한 학문이라는 이미지인데, 그런 학문의 대전제가 되는 가설의 존재를 알고 있는가? 그 가설은 바로 이것이다. ‘물건의 가격은 소비자가 얼마나 만족하느냐에 따라 정해진다’ 경제학에서는 소비자의 만족도를 ‘효용’이라고 하며, 이것을 함수로 나타낸다. 물건의 가격은 이 효용을 토대로 결정된다. 이 가설을 ‘효용가치설’이라고 한다. _121쪽에서 우리는 생활 속에서 일정한 주기로 왔다갔다하는 반복 운동을 흔히 볼 수 있다. 그 대표적인 예가 회전으로, 한 바퀴 돌 때마다 원래 위치로 돌아오는 운동이다. 자동차 바퀴의 회전, 팽이의 회전, 헬리콥터 날개의 회전처럼 친숙한 움직임부터 지구가 태양 주위를 도는 공전 운동까지 다양한 예가 있다. 빙글빙글 도는 모든 운동을 회전이라고 한다. 또 다른 유형의 반복 운동으로 진동이 있다. 진동은 회전하지는 않지만, 반복적인 패턴을 보이는 운동이다. 용수철 끝에 추를 달아 잡아당긴 뒤 손을 놓으면 추가 상하 운동을 반복하는데, 이런 운동을 진동이라고 한다. 밀려왔다 빠져나가는 바다의 파도, 지각의 진동으로 인해 발생하는 지진파, 혈관의 확장과 수축이 반복되는 맥박 등등. 그리고 우리가 듣는 소리의 정체도 공기의 진동이다. 주가는 오르내림을 반복하고 경기의 파도는 호황과 불황을 끊임없이 오간다. 그 밖에도 수없이 많은 진동이 있다. 진동이라는 말이 딱딱하게 느껴진다면 용수철이 위아래로 뿅뿅 튀어 오르는 모습을 떠올려도 좋다. _161쪽에서 미적분학은 복잡한 움직임이나 변화를 단순화해서 파악하는 방법론이다. 미분은 ‘잘게 잘라서 계산하는 것’, 적분은 ‘잘게 잘라 계산한 결과를 다시 합쳐 원래대로 되돌리는 것’이다. 이 장에서는 이런 발상을 어떻게 구체화하는지 살펴본다. 미적분학은 그 자체로 계산 방법, 계산 기술이기도 해서 계산에 관한 설명이 길어질 수밖에 없다. 하지만 중요한 것은 세세한 계산이 아니라 사고방식을 익히는 것이다. 어쩔 수 없이 수식을 통해 설명하는 부분도 있을 테지만, 되도록 그림이나 그래프를 이용해서 시각적으로 설명하려고 한다. 수식의 배후에 있는 시각적인 이미지와 단순화라는 미적분학의 기본 사상을 의식하면서 읽으면 더 좋을 것이다. 미적분학을 이해하는 데 가장 중요한 것은 그래프와 연계해서 생각하는 것이다. 그래프를 통해 시각적으로 이해해야 이미지를 잡기가 쉽다. 그래서 미적분학의 접근법과 계산 절차를 그래프로 시각화하여 이해를 도우려고 한다. _188쪽에서 아까는 원시함수에 적분 구간의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝을 대입함으로써 넓이를 구했다. 그런데 실제로는 그 전 단계로서 원시함수를 구하는 절차가 존재한다. 즉, 넓이를 구하는 계산은 2단계로 구성된다. 1단계로 원시함수를 구하고, 2단계로 그 원시함수를 이용해서 넓이를 구한다. 1단계에서는 아직 적분 구간을 확실히 정할 필요가 없다. 그래서 적분 구간이 정해지지 않은 부정(不定) 상태에서 원시함수를 구하는 계산이라는 뜻으로 부정적분이라고 한다. 2단계에서는 적분 구간을 확실히 정한 다음 원시함수를 이용해서 넓이를 구하는데, 이 계산은 적분 구간이 정해진 상태로 이루어지므로 정적분이라고 한다. _215쪽에서 범종 모양의 분포는 가장 흔하다고 할 수 있다. 이러한 분포를 정규분포라고 한다. 정규분포라는 용 어는 영어의 ‘normal distribution(보통의 분포)’을 직역한 것에 불과하다. 요컨대 보통의 가장 흔한 분포라는 뜻이다. 정규분포는 비교적 단순한 수식으로 나타낼 수 있어서 손쉽게 다양한 분석과 계산을 할 수 있다. 이 또한 정규분포가 요긴한 이유 중 하나다. 물론 실제 데이터에는 측정 오차가 있어서 수식에 정확히 들어맞지 않지만, 꽤 높은 정밀도로 실제 데이터를 나타낼 수 있다. 어떤 데이터 X의 분포가 정규분포 수식에 근접할 때 ‘데이터 X는 정규분포를 따른다’라고 표현한다. 이를테면 시험 점수의 분포는 대부분 정규분포를 따른다. 평균 점수 부근의 학생이 가장 많고 평균에서 멀어질수록 해당하는 학생 수가 줄어든다. 즉, 성적이 월등히 높은 학생이나 심하게 낮은 학생은 소수라는 뜻이다. 이 점을 이용해서 학생의 성적을 수치화한 것이 학력 편차치다. 흔히 ‘편차치’라고 부른다. 오늘날 교육 시스템에서 성적은 시험 점수로 측정하는 것이 일반적이나, 시험의 난이도에 따라 평균 점수가 달라지므로 점수 그 자체를 객관적인 지표로 삼기는 어렵다. _251쪽에서 세 번째는 베이즈 통계학이다. 18세기 수학자 토마스 베이즈가 기초를 닦았다고 알려진 베이즈 통계학은 오랫동안 통계학계에서 주목받지 못했다. 주류인 기술 통계학이나 추측 통계학과는 접근 방식이 크게 다른 탓에 유력한 통계학자들로부터 이단 취급당했기 때문이다. 그러나 근래에 접어들어 베이즈 통계학은 급속도로 주목받고 있다. 컴퓨터의 발전으로 AI(인공지능)나 머신러닝에 관한 연구가 활발해지면서 베이즈 통계학이 그러한 분야와 상성이 잘 맞는다고 알려졌기 때문이다. 베이즈 통계학은 기술 통계학이나 추측 통계학 같은 전통적인 통계학과 비교해서 새로운 데이터가 끊임없이 밀려드는 상황에 잘 대처할 수 있다는 점이 크게 다르다. 수중에 있는 데이터를 분석하는 도중에 새로운 데이터가 추가되었다고 하자. 기술 통계학이나 추측 통계학에서는 새로 입수한 데이터를 기존 데이터에 추가한 뒤 처음부터 다시 분석해야 한다. _278쪽에서