우주의 형태를 상상한 푸앵카레 추측 수학이 창조하는 무궁무진한 세계에 빠져버리다! 『미르카, 수학에 빠지다』(전 6권)는 일본 웹사이트에 연재되자마자 폭발적인 조회수를 기록한 수학 소설로, 20년이 지난 지금까지 청소년 수학 분야에서 장기 베스트셀러를 지키고 있다. 영어판 제목은 『Math Girls』이다. 수학을 통해 꿈을 이루어 가는 ‘나’, 수식의 원리를 꿰뚫어보는 수학 천재 미르카, 수포자가 될 뻔한 명랑 소녀 테트라. 세 고등학생은 괴짜 수학 선생님이 내 주는 수학 문제를 풀기 위해 방과 후 도서실이나 카페에 모여 머리를 맞대고 토론하며 수식을 풀어 나간다. 이들은 수학이라는 공통 관심사를 통해 실력을 쌓으며 점차 성장해 간다. 『미르카, 수학에 빠지다』 6권에서는 세계 7대 난제로 꼽혔던 ‘푸앵카레 추측’을 만나 볼 수 있다. 다섯 명의 고등학생들은 “단일 연결인 3차원 닫힌 다양체는 구면과 같을까?” 즉, 쉽게 표현하면 “우주는 3차원 구의 형태일까?”를 수학적으로 증명해야 한다. 수학, 물리학, 공학 분야에서 500편 이상의 논문을 쓴 위상기하학의 대가 푸앵카레. 그는 우주 형태와 구조의 실마리를 밝히기 위해 위상동형이라는 개념을 사용한다. 위상동형은 자르거나 붙이지 않고 같은 형태로 변형시킬 수 있는 것을 말한다. 즉, 삼각형, 정육면체, 원은 위상동형이며, 도넛과 튜브, 컵도 구멍이 있는 위상동형이다. 한 걸음 더 나아가 푸앵카레는 지구 위에 밧줄을 묶고 멀리 던져서 우주를 돌아 제자리로 오면 우주는 구면과 위상동형이라고 예측했고, 구멍이 있는 토러스 형태라면 밧줄은 돌아오지 못할 거라고 보았다. 푸앵카레가 남긴 이 질문은 무려 100년 동안 풀리지 않았다. 그러다 2003년 수학자 페렐만이 미분기하학을 이용해 ‘참’임을 증명했다. “단일 연결인 3차원 다양체는 구면과 같다”는 것이다. 주인공 ‘나’와 미르카를 포함한 수학 애호가들은 위상기하학을 이해하기 위해 한붓그리기 문제에서부터 뫼비우스의 띠, 클라인 병 등 도형의 성질에 대응하는 수와 군 등 위상수학을 탐구한다. 또한 점·선·면의 위치 관계와 법칙, 공간의 휘어짐과 쌍곡기하학, 미분방정식, 푸리에 전개, 1~4차원 다양체의 성질 등을 배우면서 수학이 창조하는 무궁무진한 세계에 빠져 버린다. 푸앵카레의 추측을 증명하고도 필즈상을 거절한 페렐만의 삶과 업적을 이야기하며 순수한 탐구 정신도 배울 수 있다.

프롤로그 / 나와 우주의 형태를 찾아서 1. 쾨니히스베르크의 다리 1. 유리 2. 한붓그리기 3. 간단한 그래프부터 4. 그래프와 차수 5. 이게 수학? 6. 반대 상황을 증명하라 2. 뫼비우스의 띠, 클라인 병 1. 옥상에서 테트라 뫼비우스의 띠 2. 교실에서 자습 시간 3. 도서실에서 미르카 분류 폐곡면의 분류 가향적 곡면 비가향적 곡면 전개도 연결합 4. 귀갓길 소수처럼 3. 테트라 가까이에서 1. 가족 가까이에서 유리 2. 0 가까이에서 연습 문제 합동과 닮음 대응시키기 3. 실수 a 가까이에서 합동 · 닮음 · 위상동형 연속함수 4. 점 a 가까이에서 다른 세계로 떠날 준비 거리의 세계: 실수 a의 d 근방 거리의 세계: 열린 집합 거리의 세계: 열린 집합의 성질 거리의 세계에서 위상의 세계로 위상의 세계: 열린 집합의 공리 위상의 세계: 열린 근방 위상의 세계: 연속사상 동형사상 불변성 5. 테트라 가까이에서 4. 비유클리드 기하학 1. 구면기하학 지구 위의 최단 코스 2. 현재와 미래 사이에서 고등학교 3. 쌍곡기하학 배운다는 것 비유클리드 기하학 보여이와 로바체프스키 집 4. 피타고라스의 정리를 비틀다 리사 거리의 정의 푸앵카레 원판 모델 상반평면 모델 5. 평행선 공리를 넘어 집 5. 다양체의 세계로 1. 일상에서 탈출하다 스스로를 평가하는 시간 드래건을 무찌르자 유리의 질문 낮은 차원을 생각하다 어떻게 구부릴 것인가? 2. 4차원 우주를 상상하다 벚꽃나무 아래에서 뒤집어보다 전개도 푸앵카레 추측 2차원 구면 3차원 구면 3. 뛰어들까, 뛰쳐나올까? 깨달았을 때 오일렐리언즈 6. 보이지 않는 형태를 찾아서 1. 형태를 파악하다 침묵의 형태 문제의 형태 발견198 2. 형태를 군으로 파악하다 수를 실마리로 실마리는 무엇? 3. 형태를 루프로 파악하다 루프 호모토픽 루프 호모토피류 호모토피군 4. 구면을 파악하다 집 1차원 구면의 기본군 2차원 구면의 기본군 3차원 구면의 기본군 푸앵카레 추측 5. 형태에 사로잡히다 조건의 확인 보이지 않는 스스로를 파악하다 7. 미분방정식의 온기 1. 미분방정식 음악실 교실 지수함수 삼각함수 미분방정식의 목적 용수철의 진동 2. 뉴턴의 냉각법칙 오후 수업 8. 경이로운 정리 1. 역 앞에서 유리 깜짝 놀랄 이야기 2. 집 엄마 드물게 존재하는 것들 3. 도서실 테트라 당연한 것들 4. 학교 로비 미르카 이야기를 듣다 수수께끼를 풀다 가우스 곡률 경이로운 정리 등질성과 등방성 배웅 9. 영감과 끈기 1. 삼각함수 트레이닝 영감과 끈기 단위원 사인 곡선 회전행렬에서 덧셈정리로 덧셈정리에서 곱을 합차로 바꾸는 공식으로 엄마 2. 합격 판정 모의고사 불안해하지 않기 위해 당황하지 않기 영감이냐, 끈기냐 3. 식의 형태를 파악하다 확률밀도함수를 읽다 라플라스 적분을 읽다 4. 푸리에 전개 아이디어 푸리에 전개 끈기를 넘어 영감을 넘어 10. 푸앵카레 추측 1. 오픈 세미나 강의가 끝난 후 점심시간 2. 푸앵카레 형태 푸앵카레 추측 서스턴의 기하화 추측 해밀턴의 리치 흐름 방정식 3. 수학자들 연표 필즈상 밀레니엄 문제 4. 해밀턴 리치 흐름 방정식 푸리에 열방정식 발상의 전환 해밀턴 프로그램 5. 페렐만 페렐만의 논문 한 발 더 나아가기 6. 푸리에 푸리에의 시대 열방정식 변수분리법 적분에 따른 해의 중첩 푸리에 적분 표시 유사성 꿰뚫어보기 리치 흐름 방정식으로 돌아가기 7. 우리들 과거에서 미래로 겨울이 왔으니 봄도 머지않음이라 에필로그 / 청춘과 함께 타오른 수학의 열정 맺음말 감수의 글